两数之和，两数之积

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。已知两个1~30之间的数字，甲知道两数之和，乙知道两数之积。 


甲问乙：”你知道是哪两个数吗？”乙说：”不知道”； 


乙问甲：”你知道是哪两个数吗？”甲说：”也不知道”； 


于是，乙说：”那我知道了”； 


随后甲也说：”那我也知道了”； 


这两个数是什么？




答案：


答案1：为x=1，y=6；甲知道和A=x+y=7，乙知道积B=x*y=6 


答案2：为x=1，y=8；甲知道和A=x+y=9，乙知道积B=x*y=8 


解： 


设这两个数为x，y. 


甲知道两数之和 A=x+y； 


乙知道两数之积 B=x*y； 


该题分两种情况 ： 


允许重复， 有(1 <= x <= y <= 30)； 


不允许重复，有(1 <= x < y <= 30)； 


当不允许重复，即(1 <= x < y <= 30)； 


1)由题设条件：乙不知道答案  =>  B=x*y 解不唯一  


=>  B=x*y 为非质数 




又∵ x ≠ y 


∴ B ≠ k*k (其中k∈N) 


结论(推论1)： 


B=x*y 非质数且 B ≠ k*k (其中k∈N) 


即：B ∈(6，8，10，12，14，15，18，20…) 


证明过程略。 


2)由题设条件：甲不知道答案 


<=> A=x+y 解不唯一 


=> A >= 5； 


分两种情况： 


A=5，A=6时x，y有双解 


A>=7 时x，y有三重及三重以上解 


假设 A=x+y=5 


则有双解 


x1=1，y1=4； 


x2=2，y2=3 


代入公式B=x*y： 


B1=x1*y1=1*4=4；(不满足推论1，舍去) 


B2=x2*y2=2*3=6； 


得到唯一解x=2，y=3即甲知道答案。 


与题设条件：”甲不知道答案”相矛盾， 


故假设不成立，A=x+y≠5 


假设 A=x+y=6 


则有双解。 


x1=1，y1=5； 


x2=2，y2=4 


代入公式B=x*y： 


B1=x1*y1=1*5=5；(不满足推论1，舍去) 


B2=x2*y2=2*4=8； 


得到唯一解x=2，y=4 


即甲知道答案 


与题设条件：”甲不知道答案”相矛盾 


故假设不成立，A=x+y≠6 


当A>=7时 


∵ x，y的解至少存在两种满足推论1的解 


B1=x1*y1=2*(A-2) 


B2=x2*y2=3*(A-3) 


∴ 符合条件 


结论(推论2)：A >= 7 


3)由题设条件：乙说”那我知道了” 


=>乙通过已知条件B=x*y及推论(1)(2)可以得出唯一解 


即： 


A=x+y， A >= 7 


B=x*y， B ∈(6，8，10，12，14，15，16，18，20…) 


1 <= x < y <= 30 


x，y存在唯一解 


当 B=6 时：有两组解 


x1=1，y1=6 


x2=2，y2=3 (∵ x2+y2=2+3=5 < 7∴不合题意，舍去) 


得到唯一解 x=1，y=6 


当 B=8 时：有两组解 


x1=1，y1=8 


x2=2，y2=4 (∵ x2+y2=2+4=6 < 7∴不合题意，舍去) 


得到唯一解 x=1，y=8 


当 B>8 时：容易证明均为多重解 


结论： 


当B=6时有唯一解 x=1，y=6当B=8时有唯一解 x=1，y=8 


4)由题设条件：甲说”那我也知道了” 


=>　甲通过已知条件A=x+y及推论(3)可以得出唯一解 


综上所述，原题所求有两组解： 


x1=1，y1=6 


x2=1，y2=8 


当x<=y时，有(1 <= x <= y <= 30)； 


同理可得唯一解 x=1，y=4