大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。
极限
极限存在的七种情况为:
1 数列的极限
2 趋近于x0的极限
3 趋近于x0+的极限
4 趋近于x0–的极限
5 趋近于无穷的极限
6 趋近于无穷大的极限
7 趋近于无穷小的极限
δ ε X N M
首先我们来说说这几个符号的意思
δ:表示了x和x0的趋近程度(越小越好)
ε:极限存在的时候表示极限和a的趋近程度(越小越好)
X:用于自变量趋于无穷大的时候使用(越大越好)
N:数列的极限使用(越大越好,表示这一项的以后/xn-a/<ε)(越大越好)
M:表示一个任意大的数字,然后极限比他还大,来表示极限不存在(越大越好)
下面需要注意的是,当x趋于x0的时候,x永远不会等于0。
ε一定是一个给定的正数。
/xn-a/<ε为
a-ε<xn<a+ε (xn和a在数轴上的距离小于ε)
极限存在的定义
limxn(n趋于无穷大)=a的定义;
∀ ε>0 | ∃ N∈N+ | 当 n>N时 | /xn-a/<ε |
---|
limf(x)=a;(x趋于x0)
∀ ε>0 | ∃ δ >0 | 当 0</x-x0/<δ 时 | /f(x)-a/<ε |
---|
limf(x)=a;(x趋于x0+)
∀ ε>0 | ∃ δ >0 | 当 x0<x<x0+δ 时 | /f(x)-a/<ε |
---|
limf(x)=a;(x趋于x0–)
∀ ε>0 | ∃ δ >0 | 当 x0-δ<x<x0时 | /f(x)-a/<ε |
---|
limf(x)=a;(x趋于∞)
∀ ε>0 | ∃ X >0 | 当 /x/>X时 | /f(x)-a/<ε |
---|
imf(x)=a;(x趋于+∞)
∀ ε>0 | ∃ X >0 | 当 x>X时 | /f(x)-a/<ε |
---|
imf(x)=a;(x趋于-∞)
∀ ε>0 | ∃ X >0 | 当 x<-X时 | /f(x)-a/<ε |
---|
极限不存在的定义
limxn(n趋于无穷大)=∞的定义;
∀ M>0 | ∃ N∈N+ | 当 n>N时 | /xn/>M |
---|
limxn(n趋于无穷大)=+∞的定义;
∀ M>0 | ∃ N∈N+ | 当 n>N时 | xn>M |
---|
limxn(n趋于无穷大)=-∞的定义;
∀ M>0 | ∃ N∈N+ | 当 n>N时 | xn<-M |
---|
limf(x)=∞;(x趋于x0)
∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 0</x-x0/<δ 时 | /f(x)/>M |
---|
limf(x)=+∞;(x趋于x0)
∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 0</x-x0/<δ 时 | f(x)>M |
---|
limf(x)=-∞;(x趋于x0)
∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 0</x-x0/<δ 时 | f(x)<-M |
---|
limf(x)=∞;(x趋于x0+)
∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 x0<x<x0+δ 时 | /f(x)/>M |
---|
limf(x)=+∞;(x趋于x0+)
∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 x0<x<x0+δ 时 | f(x)>M |
---|
limf(x)=-∞;(x趋于x0+)
∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 x0<x<x0+δ 时 | f(x)<-M |
---|
limf(x)=∞;(x趋于x0–)
∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 x0-δ<x<x0时 | /f(x)/>M |
---|
limf(x)=+∞;(x趋于x0–)
∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 x0-δ<x<x0时 | f(x)>M |
---|
limf(x)=-∞;(x趋于x0–)
∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 x0-δ<x<x0时 | f(x)<-M |
---|
limf(x)=∞;(x趋于∞)
∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 /x/>X时 | /f(x)/>M |
---|
limf(x)=+∞;(x趋于∞)
∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 /x/>X时 | f(x)>M |
---|
limf(x)=-∞;(x趋于∞)
∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 /x/>X时 | f(x)<-M |
---|
imf(x)=∞;(x趋于+∞)
∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 x>X时 | /f(x)/>M |
---|
imf(x)=+∞;(x趋于+∞)
∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 x>X时 | f(x)>M |
---|
imf(x)=-∞;(x趋于+∞)
∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 x>X时 | f(x)<-M |
---|
imf(x)=∞;(x趋于-∞)
∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 x<-X时 | /f(x)/>M |
---|
imf(x)=+∞;(x趋于-∞)
∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 x<-X时 | f(x)>M |
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imf(x)=-∞;(x趋于-∞)
∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 x<-X时 | f(x)<-M |
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应用:
极限的唯一性
(证明)
对于为何取(b-a)/2
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