极限的定义((δ ε X x n ∀ ∃表示的)7种极限存在情况和21种极限不存在的情况总结)

极限的定义((δ ε X x n ∀ ∃表示的)7种极限存在情况和21种极限不存在的情况总结)极限极限存在的七种情况为:1数列的极限2趋近于x0的极限3趋近于x0+的极限4趋近于x0-的极限5趋近于无穷的极限6趋近于无穷大的极限7趋近于无穷小的极限δεXxn∀∃∞极限存在的定义limxn(n趋于无穷大)=a的定义;∀ε>0∃N∈N+当n>N时/xn-a/<εlimf(x)=a;(x趋于x0)∀ε>0∃δ>0当0</x-x0/<δ时/f(x)

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。

极限

极限存在的七种情况为:
1 数列的极限
2 趋近于x0的极限
3 趋近于x0+的极限
4 趋近于x0的极限
5 趋近于无穷的极限
6 趋近于无穷大的极限
7 趋近于无穷小的极限

δ ε X N M
首先我们来说说这几个符号的意思
δ:表示了x和x0的趋近程度(越小越好)
ε:极限存在的时候表示极限和a的趋近程度(越小越好)
X:用于自变量趋于无穷大的时候使用(越大越好)
N:数列的极限使用(越大越好,表示这一项的以后/xn-a/<ε)(越大越好)
M:表示一个任意大的数字,然后极限比他还大,来表示极限不存在(越大越好)
下面需要注意的是,当x趋于x0的时候,x永远不会等于0。
ε一定是一个给定的正数。
/xn-a/<ε为
a-ε<xn<a+ε (xn和a在数轴上的距离小于ε)

极限存在的定义

limxn(n趋于无穷大)=a的定义;

∀ ε>0 ∃ N∈N+ 当 n>N时 /xn-a/<ε

limf(x)=a;(x趋于x0)

∀ ε>0 ∃ δ >0 当 0</x-x0/<δ 时 /f(x)-a/<ε

limf(x)=a;(x趋于x0+)

∀ ε>0 ∃ δ >0 当 x0<x<x0+δ 时 /f(x)-a/<ε

limf(x)=a;(x趋于x0)

∀ ε>0 ∃ δ >0 当 x0-δ<x<x0 /f(x)-a/<ε

limf(x)=a;(x趋于∞)

∀ ε>0 ∃ X >0 当 /x/>X时 /f(x)-a/<ε

imf(x)=a;(x趋于+∞)

∀ ε>0 ∃ X >0 当 x>X时 /f(x)-a/<ε

imf(x)=a;(x趋于-∞)

∀ ε>0 ∃ X >0 当 x<-X时 /f(x)-a/<ε

极限不存在的定义

limxn(n趋于无穷大)=的定义;

∀ M>0 ∃ N∈N+ 当 n>N时 /xn/>M

limxn(n趋于无穷大)=+∞的定义;

∀ M>0 ∃ N∈N+ 当 n>N时 xn>M

limxn(n趋于无穷大)=-∞的定义;

∀ M>0 ∃ N∈N+ 当 n>N时 xn<-M

limf(x)=;(x趋于x0)

∀ M>0 ∃ δ >0 当 0</x-x0/<δ 时 /f(x)/>M

limf(x)=+∞;(x趋于x0)

∀ M>0 ∃ δ >0 当 0</x-x0/<δ 时 f(x)>M

limf(x)=-∞;(x趋于x0)

∀ M>0 ∃ δ >0 当 0</x-x0/<δ 时 f(x)<-M

limf(x)=;(x趋于x0+)

∀ M>0 ∃ δ >0 当 x0<x<x0+δ 时 /f(x)/>M

limf(x)=+∞;(x趋于x0+)

∀ M>0 ∃ δ >0 当 x0<x<x0+δ 时 f(x)>M

limf(x)=-∞;(x趋于x0+)

∀ M>0 ∃ δ >0 当 x0<x<x0+δ 时 f(x)<-M

limf(x)=;(x趋于x0)

∀ M>0 ∃ δ >0 当 x0-δ<x<x0 /f(x)/>M

limf(x)=+∞;(x趋于x0)

∀ M>0 ∃ δ >0 当 x0-δ<x<x0 f(x)>M

limf(x)=-∞;(x趋于x0)

∀ M>0 ∃ δ >0 当 x0-δ<x<x0 f(x)<-M

limf(x)=;(x趋于∞)

∀ M>0 ∃ X >0 当 /x/>X时 /f(x)/>M

limf(x)=+∞;(x趋于∞)

∀ M>0 ∃ X >0 当 /x/>X时 f(x)>M

limf(x)=-∞;(x趋于∞)

∀ M>0 ∃ X >0 当 /x/>X时 f(x)<-M

imf(x)=;(x趋于+∞)

∀ M>0 ∃ X >0 当 x>X时 /f(x)/>M

imf(x)=+∞;(x趋于+∞)

∀ M>0 ∃ X >0 当 x>X时 f(x)>M

imf(x)=-∞;(x趋于+∞)

∀ M>0 ∃ X >0 当 x>X时 f(x)<-M

imf(x)=;(x趋于-∞)

∀ M>0 ∃ X >0 当 x<-X时 /f(x)/>M

imf(x)=+∞;(x趋于-∞)

∀ M>0 ∃ X >0 当 x<-X时 f(x)>M

imf(x)=-∞;(x趋于-∞)

∀ M>0 ∃ X >0 当 x<-X时 f(x)<-M

应用:在这里插入图片描述

极限的唯一性

(证明)

在这里插入图片描述
对于为何取(b-a)/2
在这里插入图片描述

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