BM3D算法学习

来源：BM3D算法学习 – 知乎 (zhihu.com)

作者：爱酷的胡巴

前些日子在学习图像降噪的算法，自然而然的发现了这篇里程碑式的作品，“BM3D”3D块匹配降噪算法，想来时间也久，赶紧再写下来，以免过后忘记。
在学习的过程中，由于没学过数字图像处理，学起来还是挺墨迹的，前前后后得有四五天吧，才算整个大差不差，期间看了许多前辈的博客和代码，也总算有些许的进步和理解，特此感谢，并将算法原文、参考博客和文献附文末。

• 从“头”开始

图像去噪是非常基础也是非常必要的研究，去噪常常在更高级的图像处理之前进行，是图像处理的基础。图像中噪声的来源有许多种，种类也各不相同，比如椒盐噪声、高斯噪声等。对于输入的带有噪声的图像v(x) ,其加性噪声可以用一个方程来表示:

如果能够精确地获得噪声，用输入图像减去噪声就可以恢复出原始图像。但实际中除非明确地知道噪声生成的方式，否则噪声很难单独求出来。由此，便诞生了一堆的图像降噪算法，从传统算法到现在的机器学习的算法，降噪算法得到了很大的发展。

• 那么传统的想法是什么呢，我们主要分为以下两大类。

对于我们来讲，一个自然而然地想法就是，能不能把空间域和变换域的降噪方法结合起来，在对图像进行降噪处理，我们能想到，自然也有人想得到，NL-means应运而生。

非局部均值算法的主要想法在于它充分利用了自然图像的“空间相似性”，将图像分成一个个的小块，在以图像为单位对图像进行降噪，简单来讲，假设我们取11*11的窗口作为处理的小图像块，我们在图像上选取几个类似的图像斑块，例如上述的q1、q2和q3，但是q1和q2明显比q3近一点，根据空间相似性我们很容易知道q1q2应该和p更为相似，故我们在对P图像斑块进行处理的时候，我们可以对q1q2q3分别赋予不同的权重，再把他们“摞起来”，求个加权平均。形象来讲，假设存在一个每一层结构都完全相同的大楼，那么在进行加权平均的时候，我们这样想，我们把P想象为其中的一层，我们最终是要P图像斑块里面每一个像素的值，p若是一层楼，那么里面的每一个像素就是这层楼中的每一个房间，P为3楼，q1q2为1层和4层，q3为5层，那么p像素的值的大小就应该为q1q2q3每个与p对应房间（像素）值的加权平均，这样就对P图像斑块完成了降噪的过程，类似一个基于大斑块的高斯滤波算法。此外，从这个举例中我们也大概摸索出了BM3D里面3D的来历…….

• 至此，非局部均值算法以经表现不错了，但是它体现在简单的加权平均，并且仍然在空间域处理图像，科技并非停滞不前，BM3D来了……

BM3D（Block-matching and 3D filtering，3维块匹配滤波）是当前效果最好的算法之一。该算法通过相似判定找到与参考块相近的二维图像块，并将相似块按照组合成三维群组，对三维群组进行协同滤波处理，再将处理结果聚合到原图像块的位置。该算法的思想跟NL-Means有点类似，也是在图像中寻找相似块的方法进行滤波，但是相对于NL-Means要复杂许多。总体可以分为两步：

在这两大步中，分别又有三小步：

相似块分组（Grouping）→协同滤波（Collaborative Filtering） →聚合（Aggregation）

我们细看每一个小步骤，编组的过程类似于NL-means：

接下来，第二小步，像上面讲述的房子一样，我们把分好的图像斑块“摞起来”，形成一个3D的“块”（Block）,在每一层中进行二维变换，变换到频率域，此外，在第三个维度，也就是每一层的对应的房间（像素）上进行一维变换，变换之后，按照非局部均值的思想，对斑块在频率域进行降噪处理，（其实是对像素值的加权平均），再对经过变换之后图像斑块，进行“硬阈值”处理，处理剔除不合格像素值，在经过反三维变换变换为空间域，再对图像进行块匹配，聚合至原来每个块的位置，这样整个图像就从一维变三维再变回一维了。至此，第一步完成。

Aggregation：此时，每个二维块都是对去噪图像的估计。这一步分别将这些块融合到原来的位置，每个像素的灰度值通过每个对应位置的块的值加权平均。

第二步与第一步类似

Step2：最终估计

(1)Grouping：第二步中的聚合过程与第一步类似，不同的是，这次将会得到两个三维数组：噪声图形成的三维矩阵和基础估计结果的三维矩阵。

(2)Collaborative Filtering：两个三维矩阵都进行二维和一维变换。用维纳滤波将噪声图形成的三维矩阵进行系数放缩，该系数通过基础估计的三维矩阵的值以及噪声强度得出。

Aggregation：与Step1中一样，只是此时加权的权重取决于维纳滤波的系数和噪声强度。

至此，算法完成，效果还是很好的，我们来看一些示例：

参考文献：

详尽过程

图解噪声与去噪 之二：从『均值滤波』到『BM3D』

阿达玛变换详尽

转：X264中SATD实现分析 – Mr.Rico – 博客园

克内罗内积

克罗内克积_百度百科

小波变换

小波变换（wavelet transform）的通俗解释（一）

blog.csdn.net/zizi7/art

频域空域细致讲解

blog.csdn.net/zdh198210

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