如何求最长回文子串

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

前言

回文字符串，就是像“12321”这种轴对称形式的字符串。
但并不是所有的字符串都是这种整个串都是回文串的，比如1232。有些计算机问题就是在一个字符串中找出一段最长的回文字符子串，这个时候时候，我们就需要一些算法来求出结构。

方法一：暴力求解

char str[10]={ 
   "5234331"};
	int len=strlen(str),max=0;
	for(int i=0;i<len;i++){ 
   
		int res=1,j=1;
		while(i-j>=0&&i+j<len-1&&str[i-j]==str[i+j]) { 
   res+=2;j++;}
		if(res>max) max=res;
	}
	printf("%d",max);

这种做法就是对每一个字符，匹配它左右两边的字符，如果相同，则res+=2，最后取最大值max。
时间复杂度达到了O(n²)，当字符长度到10000时，程序的效率就不行了，时间复杂度太高。
而且这种方法还要判断长度的奇偶性(上面只是判断奇数，在这里就不多说了)，代码比较长。

方法二：Manacher算法

时间复杂度由O(n²)缩短为O(n)，运行效率提高了很多(tql)。
1. 变换
既然回文字符串有奇偶之分，分奇偶的话，程序将会很复杂，那么我们就要想办法避免这种情况。随便选两个不同的字符串，比如”123324″，“123432”，这两个字符串的最长回文子串奇偶性都不同。那么我们选一个字符串中没出现的字符(如#)，将其插入到上面的字符串每个字符的左右两边，变成如下形式
#1#2#3#3#2#4#
#1#2#3#2#3#2#
这样回文子串长度都变成了奇数，有利于计算(舒服)。
处理一个字符串S之后，我们在利用一个和S等长的数组L，其中L[ i ]表示以S[ i ]为中心的回文串的半径，如下：
212321
# 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
1 2 1 4 1 2 1 6 1 4 1 2 1
仔细观察上面的式子，发现以‘3’为中心的回文串半径为6，而对应的回文串“12321”长度为5，以‘1’为中心的回文串的半径为4，而对应的回文串“212”长度为3，规律很快就找到了：回文串的长度等于半径-1。所以我们只需要找出最大的半径就可以找出最长的回文串的长度。但是如果想要定位最长回文子串的位置，我们还需要知道字符串的起始位置。
我们来看“12321”这个回文子串，它的中间字符‘3’在改变后的字符串中的位置为7，它的半径为6，7-6=1，这样发现，字符串“12321”在原字符串中的位置就是1。再来看“212”这个字符串，他的中间字符位置和半径分别为3和4，但是3-4=-1，起始位置变成负数了，这样是不行的。所以我们这时在字符串的首位添加一个特殊的字符。
比如‘&’，字符串变成：
& # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
1 1 2 1 4 1 2 1 6 1 4 1 2 1
（下标从零开始）
这样做仅仅只是把字符串往后移一位，没有做出过多改变，但是带来的收益却很大。
再来看“212”这个字符串，它的中间字符位置变为，4，半径为4，这样一减等于0，没有出现负数，而且在原字符串中的起始位置也为0，感觉可以，再来看“12321”，它的中间字符位置变为8，半径为6，一减等于2，除以2等于1，它在原字符串中的起始位置也为1，这样和上面的例子结合起来，发现添加‘&’后：
( 中间字符的位置-半径 ) / 2=在原字符串中的起始位置
由上面的推导，我们得出算法的规律，现在就差代码实现了。
2. 计算
现在需要的就是如何求出半径数组L[ i ]。设id和mx分别为最接近字符尾的回文子串的中点位置和右端位置。那么整个核心算法如下：
L[i]=mx>i?min(L[2*id-i],mx-i):1;
当mx>i，则L[ i ]=min( L[2 * id – i] , mx-i)，否则L[ i ]=1。
如上图：

1. 当mx-i>L[ j ]的时候，以S[ id ]为中心的回文子串包含以S[ j ]为中心的回文子串，由于 i 和 j 对称且id左右两边对称，所以以S[ id ]为中心的回文子串必然也包含以S[ j ]为中心的回文子串，见上图，所以有L[ i ]=L[ j ]，其中 j = id * 2-i 。
   
2. 当mx-i<L[ j ]的时候，以S[ id ]为中心的回文子串不一定完全包含以S[ j ]为中心的回文子串，但由于对称性可知，L[ i ]和L[ j ]在绿线以内的部分是相同的，但是到mx之外的部分需要额外取匹配
3. 当i>mx时，因为i已经超过mx了，所以找不到对称点，只能额外匹配了。
   通过上面的过程可以得出一个最长回文子串，下面给出代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){ 
   
	string s,t("!#");
	getline(cin,s);
	//将s化成 !#a#b#c#b#c 这种形式
	//其目的是让奇数和偶数的情况相同
	//方便下面的最长回文串的计算 
	for(int i=0;i<s.size();i++){ 
   
		t+=s[i];
		t+='#';
	}
	vector<int> p(t.size(),0);
	int mx=0,id=0,resl=0,resc=0;
	//mx为回文串最右端
	//id为能达到最右端的回文串的中间 
	//resl为最大的回文串的半径
	//resc为最长的回文串的中间位置 
	for(int i=1;i<t.size();i++){ 
   
		//马拉车的核心算法 //判断以t[i]为中心的回文串长度 
		p[i]=mx>i?min(p[2*id-i],mx-i):1;
		//额外匹配的部分 
		while(t[i-p[i]]==t[i+p[i]]) ++p[i];
		if(mx<i+p[i]){ 
   
			mx=p[i]+i;
			id=i;
		}
		//保留最长的部分 
		if(resl<p[i]){ 
   
			resl=p[i];
			resc=i;
		}
	}
	/*最长的回文串的范围为 (最长的回文串的中间位置-最长的回文串的半径)/2的位置 到 (最长的回文串的半径-1)的位置 */ 
	cout << s.substr((resc-resl)/2,resl-1);
	return 0;
}