大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。
序
这是一个神奇的算法!
一、介绍
起源于一篇《改变计算技术的伟大算法》文章,知道这个算法,然后google一下,维基讲的还不错,本文权当自己理清下思路。先贴源代码,为《雷神之锤III竞技场》源代码中的应用实例,剥离了C语言预处理器的指令,并附上了原有的注释。
float Q_rsqrt( float number )
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking(对浮点数的邪恶位级hack)
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?(这他妈的是怎么回事?)
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration (第一次牛顿迭代)
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed(第二次迭代,可以删除)
return y;
}
算法的思路:
1、计算出该浮点数的平方根倒数的首次近似值,见源代码中的8-11行;
2、利用牛顿法迭代以加强精度,得到要求精度内的值(迭代次数根据精度要求调整,源代码中一次迭代就满足精度要求)。
算法的巧妙之处在于代码中的四行蓝色代码,大致过程是:将表示浮点数的字节序列用来表示整数(i = * ( long * ) &y;),然后通过一个巧妙的整数运算得到一个新的整数(i = 0x5f3759df – ( i >> 1 );),最后将表示整数的字节序列换回表示浮点数。所以弄清算法关键障碍是:在计算机中是如何表示浮点数和整数的、整数运算又怎能算出浮点数的平方根倒数的近似值、0x5f3759df怎么来的。
二、浮点数和整数的表示方法
浮点数和整数存储位数一定是相同的。这里浮点数和整数都占4字节,32位。
一个浮点数是由32位二进制位表示的有理数,分为三部分。其中符号占1位,表示正负,记为Si;指数占接下来的8位,表示经过偏移处理后的指数,即实际表示E(如图中为124),需要偏移B(图中为2的8次方减1,127。B为一个固定值),最后得指数值为E-B;有效数字(除最高位以外)占剩下的23位,记为m(0<m<1),图中的。
所以浮点数的结构公式为:, 图中
整数的表示相对简单,符号占1位,数值占剩下的31位。如果用上图的浮点数字节序列来表示整数,那么,即.平方根倒数函数仅能处理正数,所以符号位均为0。
小结:对于同样的32位二进制数码,若为浮点数表示时实际数值为,而若为整数表示时实际数值则为,其中,这里n=32,b=8。式子中引入的新变量为:
——-——-—–—–—–—–—–—–等式1
,其中————等式2
三、浮点数的平方根倒数近似值
理解浮点数和整数的表示后,下面开始推导。
平方根倒数方程为:
两边取对数有:
因为浮点数可表示为:,所以也有,代入上式有:
再度引入新数描述与近似值R间的误差:由于,有,则在此可定义与x的关系为,其中介于0到1/3,所以将代入上式得:
将第二部分小结中等式1,等式2代入到上述方程中,有:
移项整理得:
又因为浮点规格存储的正浮点数x,若将其作为长整型表示,则示值为:,所以x的平方根倒数的首次近似值的整数表示值为:
,其中,,,
n=32,b=8。
这个式子对应着源代码中的这一行:i = 0x5f3759df – ( i >> 1 );,然后将整数表示值换回表示浮点数:y = * ( float * ) &i;。这样就得到了浮点数的平方根倒数的近似值。
四、神秘的0x5f3759df
由第三部分可知:0x5f3759df 对应着R,即3/2(B-)L.当R为0x5f3759df时,有.
“现在不仅该算法的原作者不明,人们也仍无法明确当初选择这个“魔术数字”的方法。Chris Lomont在研究中曾做了个试验:他编写了一个函数,以在一个范围内遍历选取R值的方式将逼近误差降到最小,以此方法他计算出了线性近似的最优R值0x5f37642f(与代码中使用的0x5f3759df相当接近),但以之代入算法计算并进行一次牛顿迭代后,所得近似值与代入0x5f3759df的结果相比精度却仍略微更低。……在Charles McEniry的论文中,他使用了一种类似Lomont但更复杂的方法来优化R值:他最开始使用穷举搜索,所得结果与Lomont相同;而后他尝试用带权二分法寻找最优值,所得结果恰是代码中所使用的魔术数字0x5f3759df”—维基百科
五、结束
至于最后一步牛顿法,自行google。平方根倒数速算法的神奇之处在于:1、充分利用了浮点数和整数在计算机中的表示,然后以两次转换表示和一次整数运算替换复杂的浮点数计算,最后通过牛顿法加强精度;2、R的取值。
参考资料
发布者:全栈程序员-用户IM,转载请注明出处:https://javaforall.cn/140041.html原文链接:https://javaforall.cn
【正版授权,激活自己账号】: Jetbrains全家桶Ide使用,1年售后保障,每天仅需1毛
【官方授权 正版激活】: 官方授权 正版激活 支持Jetbrains家族下所有IDE 使用个人JB账号...