Matlab粒子群算法（PSO）优化程序——经典实例

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

粒子群算法（ Particle Swarm Optimization, PSO）最早是由Eberhart和Kennedy于1995年提出，它的基本概念源于对鸟群觅食行为的研究。鸟群中有个体和群体，个体和群体的信息是可以互通的。个体在随机搜寻食物的过程中，只要跟踪离食物最近的群体，就能最有效地找到食物。

1.一些基本概念
（1）粒子：优化问题的候选解，指鸟群中的一个个个体；
（2）位置：候选解所在的位置，即鸟群个体的位置；
（3）速度：粒子的移动速度；
（4）适应度：评价粒子优劣的值，一般为优化目标函数的数值；
（5）个体极值：单个粒子迄今为止找到的最佳位置，就鸟群觅食而言，是单个个体能够发现距离食物最近的个体；
（6）群体极值：所有粒子迄今为止找到的最佳位置。

2.大概流程及经典公式
根据这些概念，可以大概知道流程：1）初始粒子；2）计算适应度值；3）定义初始个体极值与群体极值；4）更新粒子位置与速度；5）更新个体极值和群体极值。
在实际问题的解决中，构建目标函数是最重要的，也是最难的。而粒子群算法中最经典的部分在于步骤4）（更新粒子位置与速度），其公式如下：

xid——粒子的位置；
vid——粒子的移动速度；
w——惯性权重；
c1,c2——学习因子；
r1,r2——[0.1]中的随机数；

3.Matlab实现实例
（1）构建目标函数。这里使用只有两个参数的函数，这样便于画出三维图型。

function y=A11_01(x)

y=x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-10*x(1)-4*x(2)+60;

首先从直观上看看这个函数：

x1=-15:1:15;
x2=-15:1:15;
[x1,x2]=meshgrid(x1,x2);
y=x1.^2+x2.^2-x1.*x2-10.*x1-4.*x2+60;
mesh(x1,x2,y);

图 1 目标函数的三维网格图

（2）整体实现代码

clear 
clc

%绘制原图        图1目标函数的三维网格图
x1=-15:1:15;
x2=-15:1:15;
[x1,x2]=meshgrid(x1,x2);
y=x1.^2+x2.^2-x1.*x2-10.*x1-4.*x2+60;
mesh(x1,x2,y);    
hold on;

%%预设参数
n=100; %粒子群的规模
d=2; %变量个数
c1=2;
c2=2;
w=0.9;%权重一般设为0.9
K=50; %迭代次数

%%分布粒子的取值范围及速度的取值范围
x=-10+20*rand(n,d);  %x在[-10,10]中取值
v=-5+10*rand(n,d); %v在[-5,5]中取值

%%计算适应度
fit=zeros(n,1);
for j=1:n
    fit(j)=A11_01(x(j,:));
end
pbest=x;
ind=find(min(fit)==fit);
gbest=x(ind,:);
h=scatter3(x(:,1),x(:,2),fit,'o');  %图2 粒子的初始分布图

%%更新速度与位置
for i=1:K
    for m=1:n
       v(m,:)=w*v(m,:) + c1*rand*(pbest(m,:)-x(m,:)) + c2*rand*(gbest-x(m,:));%rand是[0,1]随机数
       
       v(m,find(v(m,:)<-5))=-5;%这里发现速度小于-5时取-5
       v(m,find(v(m,:)>5))=5;%这里发现速度大于5时取5
       
       x(m,:)=x(m,:)+0.5*v(m,:);
       x(m,find(x(m,:)<-10))=-10;%这里发现位置小于-10时取-10
       x(m,find(x(m,:)>10))=10;%这里发现位置大于10时取10
       
       %重新计算适应度
       fit(m)=A11_01(x(m,:));
       if x(m,:)<A11_01(pbest(m,:))
           pbest(m,:)=x(m,:);
       end
       if A11_01(pbest(m,:))<A11_01(gbest)
           gbest=pbest(m,:);
       end
    end
    fitnessbest(i)=A11_01(gbest);
    pause(0.01);    %为了直观，每更新一次，暂停0.01秒
    h.XData=x(:,1);
    h.YData=x(:,2);
    h.ZData=fit;
end
% hold off;
% plot(fitnessbest);
% xlabel('迭代次数');

（3）粒子的初始分布图

图2 粒子的初始分布图
（4）粒子群移动图

图 3 粒子群移动图
（5）迭代过程

图 4 迭代过程图
从图中可以看出，迭代次数基本上在13,14的时候就达到最优，即目标函数取得最小值为8.