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定义
一个矩阵 A 的列秩是 A 的线性无关的纵列的极大数目。类似地,行秩是 A 的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵 A 的秩。通常表示为 r(A),rank(A) 或 rk(A)。
可替代定义
用行列式定义
设 A 为 m*n 矩阵,若 A 至少有一个 r 阶非零子式,而其所有 r+1 阶子式全为零,则称 r 为 A 的秩。
性质
- m × n 矩阵的秩不大于m且不大于n的一个非负整数,表示为 rk(A) ≤ min(m, n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩;类似的,否则矩阵是秩不足(或称为“欠秩”)的。
- 只有零矩阵有秩 0。
- A的秩最大为 min(m,n)。
- 如果方块矩阵 A 是可逆的,当且仅当 A 有秩 n(也就是 A 有满秩)。
- A 的秩等于 r,当且仅当存在一个可逆的 m*m 矩阵 X 和一个可逆的 n*n 矩阵 Y 使得 。
- 西尔韦斯特不等式:如果 A 是一个 m*n 的矩阵,且 B 是 n*k 的矩阵,则 。
- 如果 AB,ABC 和 BC 有定义,则 。
- 。
- 如果 A 是实数上的矩阵,那么 。
- 如果 A 是复数上的矩阵,那么 。
举例
计算矩阵 A 的秩最容易的方法就是高斯消元法,即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯形矩阵,由于矩阵的初等变化不会改变矩阵的秩。
,可以看到第 2 纵列是第 1 纵列的两倍,而第 4 纵列-等于第 1 和第 3 纵列的总和。第 1 和第 3 纵列是线性无关的,所以 A 的秩是 2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行阶梯形矩阵:,它有两个非零的横行。
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