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矩阵秩的概念

k阶子式

定义1： 设$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$在$A$中任取$k$行$k$列交叉处元素按原相对位置组成的$k$ ( 1 ≤ k ≤ m i n { m . n } ) (1\leq k\leq min\lbrace m.n \rbrace) (1≤k≤min{
m.n})阶行列式，称为$A$的一个$k$阶子式。$m\times n$的矩阵$A$共有$C_m^k{C}_n^k$个$k$阶子式。

例如：

矩阵A的第一、二行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为$D_2^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 1\end{array}\right|$
矩阵A的第一、三行，第一、三列相交处的元素所构成的二阶子式为$D_2^{\prime \prime }=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 1\end{array}\right|$

例如：

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 3& 4& 1\\ 1& 4& 1& 2\end{array}\right)$共有$C_3^2{C}_4^2=18$个二阶子式，上面那两个就是其中之一。
共有$C_3^3{C}_4^3=4$个三阶子式。$D_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 1& 4& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|$就是A的一个三阶子式。

矩阵的秩

定义2： 设$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，有r阶子式不为0，任何r+1子式（如果存在的话）全为0，称r为矩阵A的秩，记做R(A)或秩(A)。

矩阵秩的求法

1、子式判别法（定义）

例1 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)求R(A)$。

解：$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=1\ne 0$ 存在一个三阶子式不为0，A没有四阶子式，所以$R(A)=3$。

例2 $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)D=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 0& 3& 4\\ 0& 0& 0\end{array}\right)E=\left(\begin{array}{ccccc}2& 1& 2& 3& 5\\ 0& 8& 1& 5& 3\\ 0& 0& 0& 7& 2\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$R(C)=3，R(D)=2，R(E)=3$

例3 $A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right)如果R(A)<3，求a$。

$R(A)<3$，A的所有三阶子式全为0，也就是A的行列式为0。解得$a=1或a=-2$

2、用初等行变换求矩阵的秩

定理：矩阵初等变换不改变矩阵的秩

注：

1. $r_i\leftrightarrow r_j$ 只改变子行列式的符号
2. $k{r}_i$ 是A中对应子式的k倍
3. $r_i+k{r}_j$ 是行列式运算的性质

将 矩阵$A$ 用初等行变换化为 阶梯型矩阵$B$ ，$R(A)=R(B)=$矩阵$B$的非零行行数

例4 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -4\\ 2& 1& 3& -6\\ -1& -1& -1& 2\end{array}\right)求R(A)$

解：$A\stackrel{r_2-2r_1}{⟶}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -4\\ 0& 1& -1& 2\\ -1& -1& -1& 2\end{array}\right)\stackrel{r_3+r_1}{⟶}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -4\\ 0& 1& -1& 2\\ 0& -1& 1& -2\end{array}\right)\stackrel{r_3+r_2}{⟶}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -4\\ 0& 1& -1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)R(A)=2$

例5 \qquad 求矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}4& -2& 1\\ 1& 2& -2\\ -1& 8& -7\\ 2& 14& -13\end{array}\right)$的秩

解：$$\begin{gathered} A\stackrel{r_1\leftrightarrow r_2}{⟶}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 4& -2& 1\\ -1& 8& -7\\ 2& 14& -13\end{array}\right)—\begin{array}{c}{r}_2-4r_1\\ r_3+r_1\\ r_4-2r_1\end{array}⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 0& -10& 9\\ 0& 10& -9\\ 0& 10& -9\end{array}\right)—\begin{array}{c}{r}_3+r_2\\ r_4+r_2\end{array}⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 0& 10& -9\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=B \\ R(A)=R(B)=2 \end{gathered}$$

例6 \qquad 设矩阵$A=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 2\\ 3& \lambda & -1& 2\\ 5& 3& \mu & 6\end{array}\right)$，且$R(A)=2$，求$\lambda$，$\mu$

解：$A=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 2\\ 3& \lambda & -1& 2\\ 5& 3& \mu & 6\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 2\\ 0& \lambda +3& -4& -4\\ 0& 8& \mu -5& -4\end{array}\right)$

$$\because R(A)=2\therefore \frac{\lambda +3}{8}=\frac{-4}{\mu -5}=\frac{-4}{-4}\therefore \lambda =5,\mu =1$$

满秩矩阵

定义3： $A$为$n$阶方阵时，
$R(A)=n$，称$A$是满秩阵，（非奇异矩阵）
$R(A)<n$，称$A$是降秩阵，（（奇异矩阵）
$\therefore$ 易知：$R(A)=n⟺|A|\ne 0$
对于满秩方阵$A$施行初等行变换可以化为单位阵$E$，又根据初等阵的作用：每对$A$施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘$A$，由此得到下面的定理

定理： 设$A$是满秩矩阵，则存在一系列初等方阵$P_1,P_2,\cdots ,P_s$，使得$P_s{P}_{s-1},\cdots ,P_2{P}_{1}A=E$

例7
$$\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 2\\ 3& 1& 2\end{array}\right)—\begin{array}{c}{r}_2-2r_1\\ r_3-3r_1\end{array}⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -3& -4\\ 0& -2& -3\end{array}\right)—\begin{array}{c}{r}_1+r_3\\ r_2-r_3\end{array}⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& -1\\ 0& -2& -3\end{array}\right)— \\ \begin{array}{c}(-r_3+2r_2)\end{array}⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)—\begin{array}{c}(-r_2-r_3)\end{array}⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=E \end{gathered}$$

$\therefore R(A)=3$，$A$为满秩方阵。此过程相当于：
$E[(-1)2-3]\times E[(-1)3+(2)2]\times E[2-3]\times E[1+3]\times E[3-(3)1]\times E[2-(2)1]\times A=E$

相关性质

1. 转置后秩不变
2. R ( A ) ≤ min ⁡ { m , n } R(A) \leq \min\{m,n\} R(A)≤min{
   m,n}，$A$是m行n列矩阵
3. $R(kA)=R(A)$，$k$不等于0
4. $R(A)=0⟺A=0$
5. $R(A+B)\le R(A)+R(B)$