常见的几种矩阵分解方式

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1.三角分解(LU分解)

矩阵的LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵与上三角矩阵的乘积。本质上，LU分解是高斯消元的一种表达方式。首先，对矩阵A通过初等行变换将其变为一个上三角矩阵。对于学习过线性代数的同学来说，这个过程应该很熟悉，线性代数考试中求行列式求逆一般都是通过这种方式来求解。然后，将原始矩阵A变为上三角矩阵的过程，对应的变换矩阵为一个下三角矩阵。这中间的过程，就是Doolittle algorithm(杜尔里特算法)。

转一个Tony Ma同学写的例子：
若AX=b是一个非奇异系统，那么高斯消元法将A化简为一个上三角矩阵。若主轴上没有0值，则无需交互行，因此只需进行第3类初等行变换（把第 i 行加上第 j 的 k 倍）即可完成此变换。例如

第3类行变换可以通过左乘相应的初等矩阵image实现，对上例来说进行的3个变换就是相应初等矩阵的乘积。注意最右边是一个下三角矩阵L
这里写图片描述
从而有 $G_3G_2G_1A = U$ ，即 $A=G_1^{-1}G_2^{-1}G_3^{-1}U$ 。因此 $A = L U$ ，为一个下三角与一个上三角矩阵的乘积，因此称为LU分解。
注意:
1）U是高斯消元的结果，且对角线上是主元
2）L对角线上是1，对角线下面的元素image恰恰是在式1中用于消去（i,j）位置上元素的乘子。

LU分解常用来求解线性方程组，求逆矩阵或者计算行列式。例如在计算行列式的时候， $A = L U$ ， $d e t (A) = d e t (L) d e t (U)$ 。而对于三角矩阵来说，行列式的值即为对角线上元素的乘积。所以如果对矩阵进行三角分解以后再求行列式，就会变得非常容易。

在线性代数中已经证明，如果方阵 $A$ 是非奇异的，即 $A$ 的行列式不为0，LU分解总是存在的。

并非所有矩阵都能进行LU分解，能够LU分解的矩阵需要满足以下三个条件：

1.矩阵是方阵（LU分解主要是针对方阵）；
2.矩阵是可逆的，也就是该矩阵是满秩矩阵，每一行都是独立向量；
3.消元过程中没有0主元出现，也就是消元过程中不能出现行交换的初等变换。

2.QR分解

QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。用一张图可以形象地表示QR分解：
这里写图片描述
这其中， $Q$ 为正交矩阵， $Q^TQ = I$ ，R为上三角矩阵。
实际中，QR分解经常被用来解线性最小二乘问题。

3.Jordan分解

每次看到Jordan分解，就想起当年考研的那段时光。控制原理里面，就有大段关于Jordan分解的内容。可惜当时矩阵分析没有学到位，线性代数里头又没有提到Jordan分解，所以理解起来那个费劲。
废话这么多，先来看看Jordan到底是个什么鬼：
我们将下面的 $\times k$ 阶方阵
$J_K(\lambda) = \left[ \begin{matrix} \lambda & 1 & \\ & \lambda & 1 \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & \lambda & 1\\ & & & & \lambda \end{matrix} \right] _{k \times k}$
称为Jordan块。同时，我们也将由若干个Jordan块组成的对角矩阵成为Jordan阵。
由Jordan块的定义不难看出，Jordan 阵与对角阵的差别仅在于它的上 (下)对角线的元素是0或1。因此，它是特殊的上三角阵。

为什么要进行Jordan分解呢？或者说，Jordan分解能解决什么问题呢？
我们先来复习一下，如果一个n阶方阵 $A$ 可以对角化，那么 $A$ 至少满足下列条件的一个：
1. $A$ 有n个线性无关的特征向量。
2. $A$ 的所有特征值的几何重数等于相应的代数重数，即 $q_i = p_i$ 。
3. $A$ 的极小多项式经标准分解后，每一项都是一次项，且重数都是1。