如何求协方差矩阵

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如何求协方差矩阵

觉得有用的话,欢迎一起讨论相互学习~

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转载自:https://blog.csdn.net/kuang_liu/article/details/16369475 非常感谢

在这里插入图片描述
其中对角线元素表示该维度的方差

1. 协方差定义

X、Y 是两个随机变量,X、Y 的协方差 cov(X, Y) 定义为:

如何求协方差矩阵

其中:

如何求协方差矩阵 、如何求协方差矩阵

2. 协方差矩阵定义

矩阵中的数据按行排列与按列排列求出的协方差矩阵是不同的,这里默认数据是按行排列。即每一行是一个observation(or sample),那么每一列就是一个随机变量。

如何求协方差矩阵

协方差矩阵:

如何求协方差矩阵

协方差矩阵的维度等于随机变量的个数,即每一个 observation 的维度。在某些场合前边也会出现 1 / m,而不是 1 / (m – 1).

3. 求解协方差矩阵的步骤

举个例子,矩阵 X 按行排列:


如何求协方差矩阵

1. 求每个维度的平均值


如何求协方差矩阵


2. 将 X 的每一列减去平均值


如何求协方差矩阵


其中:
如何求协方差矩阵


3. 计算协方差矩阵


如何求协方差矩阵




注意:
有时候在书上或者网上会看到这样的公式,协方差矩阵 Σ:
如何求协方差矩阵


这里之所以会是 X * X’ 是因为原始数据集 X 是按列排列的,即:

如何求协方差矩阵


另外在 opencv 文档中关于计算协方差矩阵的 calcCovarMatrix 函数的说明我觉得是有问题的,
在正常的 CV_COVAR_NORMAL 状态下它给出的 cov = scale * X * X’,而这个定义仅仅是在数据按列排列下才有的,即 CV_COVAR_COLS.

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