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——整理于2020.4.29
二叉树的性质及证明
性质1：在二叉树的第i层上至多有2(i-1)个结点 (i>=1)
证明：数学归纳法
(1) i=1时只有一个根节点。显然 2(i-1)= 20= 1是对的
(2) 假设对所有的 j, 1<= j <i, 命题成立，即第j层上至多有2(j-1)个结点
(3) 由归纳假设可得: 第i-1层上至多有2(i-2)个结点。由于二叉树的每个结点的度数至多为2,所以在第i层上的结点数最多为i-1层上的两倍，即2*2(i-2)=2(i-1)，即得出第i层上结点数至多为2(i-1)
性质2：深度为k的二叉树至多有2(k-1)个结点（k>=1）
证明：等比数列求和（ Sn=a1(1-qn) / 1-q )
由性质一( 在二叉树的第i层上至多有2(i-1)个结点(i>=1) )可知，深度为k的二叉树的最大结点数为：
性质3：对任何一棵二叉树T, 如果其终端结点(叶子结点)数为 n0, 度数为2的结点数为 n2, 则n0=n2+1
证明：
设n1为二叉树T中度数为1的结点数,n为二叉树结点总数，则有:
n=n0+n1+n2 ①
又因为二叉树中除根节点外每一个结点都对应一个分支,则分支数B=n-1,
由于这些分支是由度为一和二的结点射出的，所以有B=n1+2*n2,所以有：
n=n1+2*n2+1 ②
联立①②可得 n0=n2+1
完全二叉树的两个重要性质
性质4： 具有n个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log2n⌋+1
注：⌊x⌋表示不大于x的最大整数
证明：假设完全二叉树的深度为k,则根据性质2和完全二叉树的定义有
2(k-1) -1 < n <= 2k -1
由于n为整数，上式可变为:
2(k-1) <= n < 2k
两边同时取对数得：
k-1 <= log2n < k
因k为整数，即得k= ⌊log2n⌋+1
性质5:
如果对一颗有n个结点得完全二叉树(其深度为⌊log2n⌋ +1)得结点按层序编号(从第1层到第⌊log2n⌋ +1层，每层从左到右),对任一结点 i (1<= i <= n)有:
1.如果 i =1,则结点 i 是二叉树得根,无双亲；如果 i>1,则其双亲是结点⌊i/2⌋
2.如果 2i > n,则结点 i 无左孩子(结点 i 为叶子结点); 否则其左孩子是结点 2i
3.如果 2i+1 > n,则结点 i 无右孩子; 否则其右孩子是结点2i+1
证明：（暂时简单说明，有空再补）
/图片来自大话数据结构/北京大学出版社
发布者：全栈程序员-用户IM，转载请注明出处：https://javaforall.cn/138222.html原文链接：https://javaforall.cn
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