大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
论文名称：Collaborative Filtering of Correlated Noise:Exact Transform-Domain Variance for Improved Shrinkage and Patch Matching
Exact Transform-Domain Noise Variance for Collaborative Filtering of Stationary Correlated Noise
两篇论文类似。
论文链接：
https://webpages.tuni.fi/foi/papers/Ymir-Collaborative_Filtering_of_Correlated_Noise-TIP.pdf
https://webpages.tuni.fi/foi/papers/Ymir-Collaborative_Filtering_of_Correlated_Noise-TIP.pdfhttps://webpages.tuni.fi/foi/papers/ICIP2019_Ymir.pdfhttps://webpages.tuni.fi/foi/papers/ICIP2019_Ymir.pdf
文章重点讲的是对相关噪声去噪，卷积神经网络可以很好的对高斯噪声进行降噪，但是分噪声类型的，对不同类型的噪声，需要重新训练才行，深度学习在相关噪声方面的研究还比较少。而论文提的方法可以降相关噪声，实际上白噪声也能降，结合BM3D，可以做到降各种噪声，而不用像深度学习那样重新学习才行。对BM3D效果的改善，主要就是计算谱系数的方差，可以根据这个来调整一些参数。
目录
Global Fourier thresholding and refiltering
文章主要贡献点：
一、介绍了精确计算转换域谱系数方差的方法，不管多少维度都支持，且介绍了近似结果的快速计算方法。
二、把方差计算的方法在BM3D算法中使用，主要包括块匹配，patch matching，shrinkage和 aggregation 。
三、讨论了相关噪声协同滤波的固有限制，使用global Fourier thresholding和refltering的方法改善了滤波效果
四、该方法在BM3D算法中，效果得到显著的提升， refiltering在BM3D和其他算法中都能改善降噪效果
相关噪声
如果g是δ函数，则为白噪声，否则为相关噪声。在整个计算中，功率谱密度PSD是已知的。
几种典型的相关噪声，这些噪声之间还可以进行组合，得到新的相关噪声。
相关公式和符号
M个d维数据，xt为坐标
对其做d维变换
对其做d+1维变换，可以认为先做d维变换，再做1维，NL长度的变换
大致过程如下
谱系数方差近似计算
计算d维变换的谱系数
计算d维变换的谱系数的方差
方差和块的位置不相关，且
令
则
计算d+1维变换的谱系数，在d维的基础上，再做1维
计算d+1维变换的谱系数的方差，其中cov维块间的协方差
如果相似块间的噪声是不相关的，则协方差为0，假设最后1维变换是正交归一化的，则有d维变换的谱系数的方差和d+1维的相等，且和块的位置不相关，则有式(8)。但这是不现实的，比如块间有相互重叠，则噪声间有相关，或者不重叠，但噪声是相关的。
谱系数方差精确计算
计算d维变换的谱系数
计算d+1维变换的谱系数
写成卷积的方式，δxt,只在xt处有值，其他地方都是0，式(12)和(6)在数值上是等价，但式(12)嵌入了坐标位置信息。（其实这里是有疑问的，g如果是δ函数，那不就是白噪声吗，是其他函数也是一样的结果吗）
计算d+1维变换的谱系数的方差，和式(5)比，多了BjNL项，会随着块的位置而变化，这个是通用的，没有假设正交归一等。
近似计算和精确计算对比
图中做了连个1d变换，DCT+Haar。
表示式(8)和式(14)的比值，j=1,2,3,4的图表示这个比值，比值为1则相等，不为1则不等。从图可以看出，白噪声，不重叠的情况下比值恒为1，二者相等；白噪声，重叠情况下，比值不为1，二者不相等；相关噪声，不重叠情况下，比值不为1，二者不相等，（列了两种不重叠，有的差异小点，有的差异大）；相关噪声，重叠情况下，比值不为1，二者不相等，差异较大。
块间匹配
块间相似性匹配，值域距离(差异)
变换域上的距离
为了减少噪声的影响，用标准差做尺度变换，可以减少哪些特噪声系数的权重
在相关噪声情况下，临近块之间的相关性会影响到匹配结果，所以需要考虑块间方差。 两个块的谱系数差异
随机变量
的均值和方差
则，式(17)的期望
加上偏置的距离
因为噪声的存在，匹配的结果受到影响，块间距离会增大，为0并不是最优的匹配，平均多了2*σ2,这个和NLM是类似，只是转换了域，不在值域。
在BM3D中的使用——patch matching
试验表明，根据式(23)进行块间匹配的结果进行排序，可以改善噪声。实验中γ=3，BM3D中的第一步使用，第二步中不使用，即第二步中γ=0。和原来的对比，多了后面那一项，这一项可以根据式(14)计算得到。
γ取不同值时的降噪效果
γ取不同值时的匹配情况。原来的匹配结果，和参考块重叠度很高，修正后，和参考块的重叠度就很小了。
在BM3D中的使用-Shrinkage
在BM3D中的使用-Aggregation
快速计算的方法
原来的方法不需要每次计算谱系数方差，现在需要对每个块都做计算式(14)，计算量大了很多，通过一下方法减少计算量，近似求解。
1、使用插值的方法对PSD进行下采样，减少计算量
2、利用稀疏性—不知道如何减少计算量
3、利用对称性，计算量减半
4、只计算某些块的方差，比如计算K个块，根据算出的K个块方差，近似计算出其他块的方差，如果K为0，则式(29)和式(8)相等
Global Fourier thresholding and refiltering
当噪声和细节很相似时，就很难区分，没法做到降噪的同时不影响细节，要么就细节受损，要么就噪声没去掉，用精确计算公式(14)也是一样的。为了改善这个问题，先GLobal Fourier Thresholding灰度出噪声图像，然后再重新滤波。
整个BM3D的流程大概如下（感觉计算量增大了很多，又重新算了遍，应该翻倍了）
参数选择
hard-thresholding中λ参数的确定，和相关核有关，白噪声的小一些
Wiener filtering中的µ2和λ。在BM3D中取µ2=1，可以在一定数据集上，二维参数中遍历，得到最优的参数 另外，
实验中K=4，Nf=32
试验结果
与最大值差异较小的都标记为粗体了 refilter不仅仅用在BM3D中，在其他算法中也有效。
主观效果对比，感觉有时refltering增加了很多细节，如果有没这一步，噪声虽然滤除了，但细节也丢了不少。
文章公式较多，有的地方可能理解不对，欢迎指出，一起探讨学习！
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