Singular Value Thresholding (SVT) 奇异值阈值

Singular Value Thresholding (SVT) 奇异值阈值这个算法受到压缩感知中迭代算法的启发,在迭代过程中对矩阵进行SVD,然后将较小的奇异值设置为0,生成新的矩阵进行迭代。该算法运算速度快,对于高位低秩矩阵的恢复非常有效。

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为了求解问题

这里写图片描述

因为它是非凸的,我们求解一个它的近似算法

这里写图片描述

对于一个大的 τ 值,它可以用下列等式接近

这里写图片描述

其中第一项为核范式(奇异值的和),第二项为Frobenius范式。

  1. Singular Value Thresholding (SVT) 奇异值阈值

    * 奇异值收缩(singular value shrinkage)*

    首先我们考虑一个秩为 r 的矩阵

    XRn1xn2
    的奇异值分解如下:
    SVD
    其中 U

    V
    分别为 n1×r n2×r 的正交矩阵,奇异值为 ρi 非负的。

    对于每个 τ0 ,我们有软阈值操作 Dτ :
    SVS
    其中 t+ 表示的 t 非负部分,即

    t+=max(0,t)
    。换句话说,这个软阈值操作仅仅应用于矩阵 X <script type=”math/tex” id=”MathJax-Element-56″>X</script> 的奇异值上,使它们趋于零。这也是为什么我们将其成为奇异值收缩(singular value shrinkage)的原因。

    * Singular Value Thresholding (SVT) 奇异值阈值*

    又因为奇异值收缩(singular value shrinkage)是核范式的近似操作(具体证明见[3]),因此上式可以转化为:
    这里写图片描述

    它的迭代方式为:
    这里写图片描述

    这个算法受到压缩感知中迭代算法的启发,在迭代过程中对矩阵进行SVD,然后将较小的奇异值设置为0,生成新的矩阵进行迭代。该算法运算速度快,对于高位低秩矩阵的恢复非常有效。

  2. 用拉格朗日乘子法解释

    原问题为:

    这里写图片描述

    其拉格朗日函数为:

    这里写图片描述

    强对偶成立,且拉格朗日函数的鞍点是原函数与对偶问题的最优解,即

    这里写图片描述

    其迭代解为:

    这里写图片描述

参考或延伸材料
[1] 斯坦福SVT软件
[2] Generalized Singular Value Thresholding
[3] A singular value thresholding algorithm for matrix completion
[4] Exact Matrix Completion via Convex Optimization

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