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图的四种最短路径算法

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图的四种最短路径算法本文总结了图的几种最短路径算法的实现：深度或广度优先搜索算法，弗洛伊德算法，迪杰斯特拉算法，Bellman-Ford算法1），深度或广度优先搜索算法（解决单源最短路径）从起始结点开始访问所有的深度遍历路径或广度优先路径，则到达终点结点的路径有多条，取其中路径权值最短的一条则为最短路径。下面是核心代码：[cpp] viewplain copyvoid dfs(int cur, int dst){ …

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

本文总结了图的几种最短路径算法的实现：深度或广度优先搜索算法，弗洛伊德算法，迪杰斯特拉算法，Bellman-Ford算法

1），深度或广度优先搜索算法（解决单源最短路径）


从起始结点开始访问所有的深度遍历路径或广度优先路径，则到达终点结点的路径有多条，取其中路径权值最短的一条则为最短路径。

下面是核心代码：

[cpp] 
view plain
 copy

  1. void dfs(int cur, int dst){    
  2.     /***operation***/    
  3.     
  4.     /***operation***/    
  5.     if(minPath < dst) return;//当前走过路径大于之前最短路径，没必要再走下去    
  6.     if(cur == n){
    //临界条件    
  7.         if(minPath > dst) minPath = dst;    
  8.         return;    
  9.     }    
  10.     else{    
  11.         int i;    
  12.         for(i = 1; i <= n; i++){    
  13.             if(edge[cur][i] != inf && edge[cur][i] != 0 && mark[i] == 0){    
  14.                 mark[i] = 1;    
  15.                 dfs(i, dst+edge[cur][i]);    
  16.                 mark[i] = 0;  //需要在深度遍历返回时将访问标志置0              
  17.             }    
  18.         }    
  19.         return;    
  20.     }    
  21. }    

例1：下面是城市的地图，注意是单向图，求城市1到城市5的最短距离。(引用的是上次总结的图论（一）中1）的例2)

图的四种最短路径算法

[cpp] 
view plain
 copy

  1. /***先输入n个结点，m条边，之后输入有向图的m条边，边的前两元素表示起始结点，第三个值表权值，输出1号城市到n号城市的最短距离***/    
  2. /***算法的思路是访问所有的深度遍历路径，需要在深度遍历返回时将访问标志置0***/    
  3. #include <iostream>    
  4. #include <iomanip>    
  5. #define nmax 110    
  6. #define inf 999999999    
  7. using namespace std;    
  8. int n, m, minPath, edge[nmax][nmax], mark[nmax];//结点数，边数，最小路径，邻接矩阵，结点访问标记    
  9. void dfs(int cur, int dst){    
  10.     /***operation***/    
  11.     
  12.     /***operation***/    
  13.     if(minPath < dst) return;//当前走过路径大于之前最短路径，没必要再走下去    
  14.     if(cur == n){
    //临界条件    
  15.         if(minPath > dst) minPath = dst;    
  16.         return;    
  17.     }    
  18.     else{    
  19.         int i;    
  20.         for(i = 1; i <= n; i++){    
  21.             if(edge[cur][i] != inf && edge[cur][i] != 0 && mark[i] == 0){    
  22.                 mark[i] = 1;    
  23.                 dfs(i, dst+edge[cur][i]);    
  24.                 mark[i] = 0;                
  25.             }    
  26.         }    
  27.         return;    
  28.     }    
  29. }    
  30.     
  31. int main(){    
  32.     while(cin >> n >> m && n != 0){    
  33.         //初始化邻接矩阵    
  34.         int i, j;    
  35.         for(i = 1; i <= n; i++){    
  36.             for(j = 1; j <= n; j++){    
  37.                 edge[i][j] = inf;    
  38.             }    
  39.             edge[i][i] = 0;    
  40.         }    
  41.         int a, b;    
  42.         while(m–){    
  43.             cin >> a >> b;    
  44.             cin >> edge[a][b];    
  45.         }    
  46.         //以dnf(1)为起点开始递归遍历    
  47.         memset(mark, 0, sizeof(mark));    
  48.         minPath = inf;    
  49.         mark[1] = 1;    
  50.         dfs(1, 0);    
  51.         cout << minPath << endl;    
  52.     }    
  53.     return 0;    
  54. }    

程序运行结果如下：

图的四种最短路径算法

2），弗洛伊德算法（解决多源最短路径）：时间复杂度O(n^3),空间复杂度O(n^2)
基本思想：最开始只允许经过1号顶点进行中转，接下来只允许经过1号和2号顶点进行中转……允许经过1~n号所有顶点进行中转，来不断动态更新任意两点之间的最短路程。即求从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。

分析如下：1，首先构建邻接矩阵Floyd[n+1][n+1]，假如现在只允许经过1号结点，求任意两点间的最短路程，很显然Floyd[i][j] = min{Floyd[i][j], Floyd[i][1]+Floyd[1][j]}，代码如下：

[cpp] 
view plain
 copy

  1. for(i = 1; i <= n; i++){  
  2.     for(j = 1; j <= n; j++){  
  3.         if(Floyd[i][j] > Floyd[i][1] + Floyd[1][j])  
  4.             Floyd[i][j] = Floyd[i][1] + Floyd[1][j];  
  5.     }  
  6. }  

2，接下来继续求在只允许经过1和2号两个顶点的情况下任意两点之间的最短距离，在已经实现了从i号顶点到j号顶点只经过前1号点的最短路程的前提下，现在再插入第2号结点，来看看能不能更新更短路径，故只需在步骤1求得的Floyd[n+1][n+1]基础上，进行Floyd[i][j] = min{Floyd[i][j], Floyd[i][2]+Floyd[2][j]}；……
3，很显然，需要n次这样的更新，表示依次插入了1号，2号……n号结点，最后求得的Floyd[n+1][n+1]是从i号顶点到j号顶点只经过前n号点的最短路程。故核心代码如下：

[cpp] 
view plain
 copy

  1. #define inf 99999999  
  2. for(k = 1; k <= n; k++){  
  3.     for(i = 1; i <= n; i++){  
  4.         for(j = 1; j <= n; j++){  
  5.             if(Floyd[i][k] < inf && Floyd[k][j] < inf && Floyd[i][j] > Floyd[i][k] + Floyd[k][j])  
  6.                 Floyd[i][j] = Floyd[i][k] + Floyd[k][j];  
  7.         }  
  8.     }  
  9. }  

例1：寻找最短的从商店到赛场的路线。其中商店在1号结点处，赛场在n号结点处，1~n结点中有m条线路双向连接。

[cpp] 
view plain
 copy

  1. /***先输入n，m，再输入m个三元组，n为路口数，m表示有几条路其中1为商店，n为赛场，三元组分别表起点，终点，该路径长，输出1到n的最短路径***/  
  2. #include <iostream>  
  3. using namespace std;  
  4. #define inf 99999999  
  5. #define nmax 110  
  6. int edge[nmax][nmax], n, m;  
  7. int main(){  
  8.     while(cin >> n >> m && n!= 0){  
  9.         //构建邻接矩阵  
  10.         int i, j;  
  11.         for(i = 1; i <= n; i++){  
  12.             for(j = 1; j <= n; j++){  
  13.                 edge[i][j] = inf;  
  14.             }  
  15.             edge[i][i] = 0;  
  16.         }  
  17.         while(m–){  
  18.             cin >> i >> j;  
  19.             cin >> edge[i][j];  
  20.             edge[j][i] = edge[i][j];  
  21.         }  
  22.         //使用弗洛伊德算法  
  23.         int k;  
  24.         for(k = 1; k <= n; k++){  
  25.             for(i = 1; i <= n; i++){  
  26.                 for(j = 1; j <= n; j++){  
  27.                     if(edge[i][k] < inf && edge[k][j] < inf && edge[i][j] > edge[i][k] + edge[k][j])  
  28.                         edge[i][j] = edge[i][k] + edge[k][j];  
  29.                 }  
  30.             }  
  31.         }  
  32.         cout << edge[1][n] << endl;  
  33.     }  
  34.     return 0;  
  35. }  

程序运行结果如下：


图的四种最短路径算法



3），迪杰斯特拉算法（解决单源最短路径）
基本思想：每次找到离源点（如1号结点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。
基本步骤：1，设置标记数组book[]：将所有的顶点分为两部分,已知最短路径的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q，很显然最开始集合P只有源点一个顶点。book[i]为1表示在集合P中；
2，设置最短路径数组dst[]并不断更新：初始状态下，令dst[i] = edge[s][i](s为源点，edge为邻接矩阵)，很显然此时dst[s]=0，book[s]=1。此时，在集合Q中可选择一个离源点s最近的顶点u加入到P中。并依据以u为新的中心点，对每一条边进行松弛操作(松弛是指由结点s–>j的途中可以经过点u，并令dst[j]=min{dst[j], dst[u]+edge[u][j]})，并令book[u]=1;
3，在集合Q中再次选择一个离源点s最近的顶点v加入到P中。并依据v为新的中心点，对每一条边进行松弛操作(即dst[j]=min{dst[j], dst[v]+edge[v][j]}),并令book[v]=1;
4，重复3，直至集合Q为空。
以下是图示：
图的四种最短路径算法

核心代码如下所示：

[cpp] 
view plain
 copy

  1. #define inf 99999999  
  2. /***构建邻接矩阵edge[][],且1为源点***/  
  3. for(i = 1; i <= n; i++) dst[i] = edge[1][s]；  
  4. for(i = 1; i <= n; i++) book[i] = 0;  
  5. book[1] = 1;  
  6. for(i = 1; i <= n-1; i++){  
  7.     //找到离源点最近的顶点u，称它为新中心点  
  8.     min = inf;  
  9.     for(j = 1; j <= n; j++){  
  10.         if(book[j] == 0 && dst[j] < min){  
  11.             min = dst[j];  
  12.             u = j;  
  13.         }  
  14.     }  
  15.     book[u] = 1;  
  16.     //更新最短路径数组  
  17.     for(k = 1; k <= n; k++){  
  18.         if(edge[u][k] < inf && book[k] == 0){  
  19.             if(dst[k] > dst[u] + edge[u][k])  
  20.                 dst[k] = dst[u] + edge[u][k];             
  21.         }  
  22.     }  
  23. }  

例1：给你n个点，m条无向边，每条边都有长度d和花费p，给你起点s，终点t，要求输出起点到终点的最短距离及其花费，如果最短距离有多条路线，则输出花费最少的。
输入：输入n,m，点的编号是1~n,然后是m行，每行4个数 a,b,d,p，表示a和b之间有一条边，且其长度为d，花费为p。最后一行是两个数s,t;起点s，终点 t。n和m为 0 时输入结束。(1<n<=1000, 0<m<100000, s != t)
输出：输出一行，有两个数， 最短距离及其花费。
分析：由于每条边有长度d和花费p，最好构建边结构体存放，此外可以使用邻接链表，使用邻接链表时需要将上面的核心代码修改几个地方：

1，初始化dst[]时使用结点1的邻接链表；
2，更新最短路径数组时，k的范围由1~n变为1~edge[u].size()。先采用邻接矩阵解决此题，再使用邻接表解决此题，两种方法的思路都一样：初始化邻接矩阵或邻接链表，并
初始化最短路径数组dst —-> n-1轮边的松弛中，先找到离新源点最近的中心点u，之后根据中心点u为转折点来更新路径数组。

使用邻接矩阵求解：

[cpp] 
view plain
 copy

  1. /***对于无向图，输入n,m，点的编号是1~n,然后是m行，每行4个数 a,b,d,p，表示a和b之间有一条边，且其长度为d，花费为p。最后一行是两个数s,t;起点s，终点 t。***/  
  2. /***n和m为 0 时输入结束。(1<n<=1000, 0<m<100000, s != t)     输出：输出一行，有两个数， 最短距离及其花费。***/  
  3. #include <iostream>  
  4. #include <iomanip>  
  5. using namespace std;  
  6. #define nmax 1001  
  7. #define inf 99999999  
  8. struct Edge{  
  9.     int len;  
  10.     int cost;  
  11. };  
  12. Edge edge[nmax][nmax];  
  13. int dst[nmax], spend[nmax], book[nmax], n, m, stNode, enNode;  
  14. int main(){  
  15.     while(cin >> n >> m && n != 0 && m != 0){  
  16.         int a, b, i, j;  
  17.         //构建邻接矩阵和最短路径数组  
  18.         for(i = 1; i <= n; i++){  
  19.             for(j = 1; j <= n; j++){  
  20.                 edge[i][j].cost = 0;  
  21.                 edge[i][j].len = inf;  
  22.             }  
  23.             edge[i][i].len = 0;  
  24.         }  
  25.         while(m–){  
  26.             cin >> a >> b;  
  27.             cin >> edge[a][b].len >> edge[a][b].cost;  
  28.             edge[b][a].len = edge[a][b].len;  
  29.             edge[b][a].cost = edge[a][b].cost;  
  30.         }  
  31.         cin >> stNode >> enNode;  
  32.         for(i = 1; i <= n; i++){  
  33.             dst[i] = edge[stNode][i].len;  
  34.             spend[i] = edge[stNode][i].cost;  
  35.         }  
  36.         memset(book, 0, sizeof(book));  
  37.         book[stNode] = 1;  
  38.         //开始迪杰斯特拉算法，进行剩余n-1次松弛  
  39.         int k;  
  40.         for(k = 1; k <= n-1; k++){  
  41.             //找离源点最近的顶点u  
  42.             int minNode, min = inf;  
  43.             for(i = 1; i <= n; i++){  
  44.                 if(book[i] == 0 && min > dst[i] /* || min == dst[i]&& edge[stNode][min].cost > edge[stNode][i].cost*/){  
  45.                     min = dst[i];  
  46.                     minNode = i;  
  47.                 }  
  48.             }  
  49.             //cout << setw(2) << minNode;  
  50.             book[minNode] = 1;//易错点1，错写成book[i]=1  
  51.             //以中心点u为转折点来更新路径数组和花费数组  
  52.             for(i = 1; i <= n; i++){  
  53.                 if(book[i] == 0 && dst[i] > dst[minNode] + edge[minNode][i].len || dst[i] == dst[minNode] + edge[minNode][i].len && spend[i] > spend[minNode] + edge[minNode][i].cost){  
  54.                     dst[i] = dst[minNode] + edge[minNode][i].len;//易错点2，错写成dst[i]+  
  55.                     spend[i] = spend[minNode] + edge[minNode][i].cost;  
  56.                 }  
  57.             }  
  58.         }  
  59.         cout << dst[enNode] << setw(3) << spend[enNode] << endl;  
  60.     }  
  61.     return 0;  
  62. }  

程序运行结果如下：

图的四种最短路径算法

使用邻接链表求解：

[cpp] 
view plain
 copy

  1. /***对于无向图，输入n,m，点的编号是1~n,然后是m行，每行4个数 a,b,d,p，表示a和b之间有一条边，且其长度为d，花费为p。最后一行是两个数s,t;起点s，终点 t。***/  
  2. /***n和m为 0 时输入结束。(1<n<=1000, 0<m<100000, s != t)     输出：输出一行，有两个数， 最短距离及其花费。***/  
  3. #include <iostream>  
  4. #include <iomanip>  
  5. #include <vector>  
  6. using namespace std;  
  7. #define nmax 1001  
  8. #define inf 99999999  
  9. struct Edge{  
  10.     int len;  
  11.     int cost;  
  12.     int next;  
  13. };  
  14. vector<Edge> edge[nmax];  
  15. int dst[nmax], spend[nmax], book[nmax], n, m, stNode, enNode;  
  16. int main(){  
  17.     while(cin >> n >> m && n != 0 && m != 0){  
  18.         int a, b, i, j;  
  19.         //构建邻接表和最短路径数组  
  20.         for(i = 1; i <= n; i++) edge[i].clear();  
  21.         while(m–){  
  22.             Edge tmp;  
  23.             cin >> a >> b;  
  24.             tmp.next = b;  
  25.             cin >> tmp.len >> tmp.cost;  
  26.             edge[a].push_back(tmp);  
  27.             tmp.next = a;  
  28.             edge[b].push_back(tmp);  
  29.         }  
  30.         cin >> stNode >> enNode;  
  31.         for(i = 1; i <= n; i++) dst[i] = inf; //注意2，别忘记写此句来初始化dst[]  
  32.         for(i = 0; i < edge[stNode].size(); i++){
    //注意1，从下标0开始存元素，误写成i <= edge[stNode].size()  
  33.             dst[edge[stNode][i].next] = edge[stNode][i].len;  
  34.             //cout << dst[2] << endl;  
  35.             spend[edge[stNode][i].next] = edge[stNode][i].cost;  
  36.         }  
  37.         memset(book, 0, sizeof(book));  
  38.         book[stNode] = 1;  
  39.         //开始迪杰斯特拉算法，进行剩余n-1次松弛  
  40.         int k;  
  41.         for(k = 1; k <= n-1; k++){  
  42.             //找离源点最近的顶点u  
  43.             int minnode, min = inf;  
  44.             for(i = 1; i <= n; i++){  
  45.                 if(book[i] == 0 && min > dst[i] /* || min == dst[i]&& edge[stnode][min].cost > edge[stnode][i].cost*/){  
  46.                     min = dst[i];  
  47.                     minnode = i;  
  48.                 }  
  49.             }  
  50.             //cout << setw(2) << minnode;  
  51.             book[minnode] = 1;//易错点1，错写成book[i]=1  
  52.             //以中心点u为转折点来更新路径数组和花费数组  
  53.             for(i = 0; i < edge[minnode].size(); i++){  
  54.                 int t = edge[minnode][i].next;//别忘了加此句，表示与结点minnode相邻的点  
  55.                 if(book[t] == 0 && dst[t] > dst[minnode] + edge[minnode][i].len || dst[t] == dst[minnode] + edge[minnode][i].len && spend[t] > spend[minnode] + edge[minnode][i].cost){  
  56.                     dst[t] = dst[minnode] + edge[minnode][i].len;  
  57.                     spend[t] = spend[minnode] + edge[minnode][i].cost;  
  58.                 }  
  59.             }  
  60.         }  
  61.         cout << dst[enNode] << setw(3) << spend[enNode] << endl;  
  62.     }  
  63.     return 0;  
  64. }  

程序运行结果如下：

图的四种最短路径算法
使用邻接表时，注意更新dst[]，book[]时要使用邻接表元素对应下标中的next成员，而涉及到权值加减时时需要使用邻接表中的对应下标来取得权值；而使用邻接矩阵就没这么多顾虑了，因为这时候邻接矩阵对应下标和dst[]要更新元素的下标正好一致，都是从1开始编号。

4），Bellman-Ford算法(解决负权边，解决单源最短路径，前几种方法不能求含负权边的图)：：时间复杂度O(nm),空间复杂度O(m)
主要思想：对所有的边进行n-1轮松弛操作，因为在一个含有n个顶点的图中，任意两点之间的最短路径最多包含n-1边。换句话说，第1轮在对所有的边进行松弛后，得到的是从1号顶点只能经过一条边到达其余各定点的最短路径长度。第2轮在对所有的边进行松弛后，得到的是从1号顶点只能经过两条边到达其余各定点的最短路径长度，……
以下是图示：

图的四种最短路径算法

此外，Bellman_Ford还可以检测一个图是否含有负权回路：如果在进行n-1轮松弛后仍然存在dst[e[i]] > dst[s[i]]+w[i]。算法核心代码如下：

[cpp] 
view plain
 copy

  1. #define inf 999999999  
  2. for(i = 1; i <= n; i++) dst[i] = inf;  
  3. dst[1] = 0;  
  4. for(k = 1; k <= n-1; k++){  
  5.     for(i = 1; i <= m; i++){  
  6.         if(dst[e[i]] > dst[s[i]] + w[i])  
  7.             dst[e[i]] = dst[s[i]] + w[i];  
  8.     }  
  9. }  
  10. //检测负权回路  
  11. flag = 0;  
  12. for(i = 1; i <= m; i++){  
  13.     if(dst[e[i]] > dst[s[i]] + w[i])  
  14.         flag = 1;  
  15. }  
  16. if(flag) cout << “此图含有负权回路”;  

例1：对图示中含负权的有向图，输出从结点1到各结点的最短路径，并判断有无负权回路。

[cpp] 
view plain
 copy

  1. /***先输入n，m，分别表结点数和边数，之后输入m个三元组，各表起点，终点，边权，输出1号结点到各结点的最短路径****/  
  2. #include <iostream>  
  3. #include <iomanip>  
  4. using namespace std;  
  5. #define nmax 1001  
  6. #define inf 99999999  
  7. int n, m, s[nmax], e[nmax], w[nmax], dst[nmax];  
  8. int main(){  
  9.     while(cin >> n >> m && n != 0 && m != 0){  
  10.         int i, j;  
  11.         //初始化三个数组：起点数组s[],终点数组e[],权值数组w[],最短路径数组dst[]  
  12.         for(i = 1; i <= m; i++)  
  13.             cin >> s[i] >> e[i] >> w[i];  
  14.         for(i = 1; i <= n; i++)  
  15.             dst[i] = inf;  
  16.         dst[1] = 0;  
  17.         //使用Bellman_Ford算法  
  18.         for(j = 1; j <= n-1; j++){  
  19.             for(i = 1; i <= m; i++){  
  20.                 if(dst[e[i]] > dst[s[i]] + w[i])  
  21.                     dst[e[i]] = dst[s[i]] + w[i];  
  22.             }  
  23.         }  
  24.         //测试是否有负权回路并输出  
  25.         int flag = 0;  
  26.         for(i = 1; i <= m; i++)  
  27.             if(dst[e[i]] > dst[s[i]] + w[i])  
  28.                 flag = 1;  
  29.         if(flag) cout << “此图含有负权回路\n”;  
  30.         else{  
  31.             for(i = 1; i <= n; i++){  
  32.                 if(i == 1)  
  33.                     cout << dst[i];  
  34.                 else   
  35.                     cout << setw(3) << dst[i];  
  36.             }  
  37.             cout << endl;  
  38.         }  
  39.     }  
  40.     return 0;  
  41. }  

程序运行结果如下：

图的四种最短路径算法

原文：http://blog.csdn.net/qibofang/article/details/51594673#

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