大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。
题目: 给定数组arr, 返回arr的最长递增子序列。
举例:arr = [2, 1, 5, 3, 6, 4, 8, 9, 7], 返回的最长递增子序列为 [1, 3, 4, 8, 9]
要求:如果arr长度为N,请实现时间复杂度为O(NlogN)的方法。
目录: 一、 时间复杂度O(N^2)的方法
二、 时间复杂度O(NlogN)的方法
一、 先介绍时间复杂度O(N^2)的方法,具体过程如下:
1. 生成长度为N的数组dp, dp[i]表示在以arr[i]这个数结尾的情况下,arr[0…i]中的最大递增序列长度。
2. 对第一个数arr[0]来说,令dp[0] = 1,接下来,从左到右依次计算出每个数结尾的情况下的最长递增序列长度。
3. 计算dp[i],如果最长递增子序列以arr[i]结尾,那么arr[0,…,i-1]中所有比arr[i]小的数都可以作为倒数第二个数
所以 dp[i] = max{ dp[j] + 1} (0 <=j < i, arr[j] < arr[i]), 如果arr[0,…,i-1]中所有数都不比arr[i]小,令dp[i] = 1。
4.根据求出的dp数组,得到最长递增子序列。遍历dp数组,找到最大值以及位置,并开始逆序还原出决策路径。
代码如下:
// 最长递增序列 <动态规划> <复杂度0(N^2)>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int> getdp1(vector<int> &arr);
vector<int> generateLIS(vector<int> &arr, vector<int>&dp);
int main() {
vector<int> arr;
int temp;
while(cin >> temp){
arr.push_back(temp);
}
vector<int> dp = getdp1(arr);
vector<int> lis = generateLIS(arr, dp);
for (int i = 0; i < lis.size(); i++){
cout << lis[i]<<" ";
}
return 0;
}
vector<int> getdp1(vector<int> &arr){
vector<int> dp(arr.size(), 0);
for(int i = 0; i < arr.size(); i++){
dp[i] = 1;
for (int j = 0; j < i; j++){
if (arr[j] < arr[i]){
dp[i] = max(dp[j]+ 1, dp[i]);
}
}
}
return dp;
}
vector<int> generateLIS(vector<int> &arr, vector<int> &dp){
int len = 0; int index = 0;
for (int i = 0; i < dp.size(); i++) { //寻最长递增子序列末尾的位置和值
if (dp[i] > len) {
len = dp[i]; // 最长序列长度
index = i; // 最长序列末位置
}
}
vector<int> lis(len, 0);
lis[--len] = arr[index];
for (int i = index; i >= 0; i--){
if (arr[i] < arr[index] && dp[i] == dp[index] - 1){ //从后往前找子序列
lis[--len] = arr[i];
index = i;
}
}
return lis;
}
/* input
2 1 5 3 6 4 8 9 7
*/
/* output
1 3 4 8 9
*/
编译器:codeblocks
输入:
输出:
二、 再介绍时间复杂度O(NlogN)的方法,具体过程如下:
计算dp数组的过程达到时间复杂度O(NlogN),这里采用二分查找进行优化,先生成一个长度为N的数组ends和变量right.
遍历的过程中ends[0,…,right]有效区,ends[right+1,…,N-1]无效区,
ends[b] = c 表示遍历到目前为止,在所有长度为b+1的递增序列中,最小的结尾数为c.
以arr=[2,1,5,3,6,4,8,9,7]为例进行说明:
1. 初始时,dp[0]=1, ends[0]=2, rights = 0, 有效区 ends[0…0],ends[0] = 2, 长度为1,结尾为2
2. arr[1] = 1, 在有效区ends[0,…0]找最左边大于或等于arr[1]的数,发现ends[0] =2 >arr[1], 表示以arr[1]结尾的最长序列只有
一 个,dp[1] = 1, ends[0] = 1 (用1替换了原来的2)
3. arr[2] = 5, 在有效区ends[0,..0]找最左边大于或等于arr[2]的数,发现并没有,则ends的有效长度+1, end[1] = 5, 有效区
扩大,dp[2] = 2. arr[0,1] = {1, 5}
依此类推:
代码如下:
// 最长递增序列 <动态规划> <复杂度0(NlogN)>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int> getdp2(vector<int> &arr);
vector<int> generateLIS(vector<int> &arr, vector<int>&dp);
int main() {
vector<int> arr;
int temp;
while(cin >> temp){
arr.push_back(temp);
}
vector<int> dp = getdp2(arr);
vector<int> lis = generateLIS(arr, dp);
for (int i = 0; i < lis.size(); i++){
cout << lis[i]<<" ";
}
return 0;
}
vector<int> getdp2(vector<int> &arr){
vector<int> dp(arr.size(), 0);
vector<int> ends(arr.size(), 0);
ends[0] = arr[0]; dp[0] = 1;
int right = 0; int l = 0; int r = 0; int m = 0;
for (int i = 1; i < arr.size(); i++) {
l = 0;
r = right;
while(l <= r) { //二分法
m = (l + r) / 2;
if (arr[i] > ends[m]){
l = m + 1;
}else {
r = m - 1;
}
}
right = max(right, l);
ends[l] = arr[i];
dp[i] = l + 1;
}
return dp;
}
vector<int> generateLIS(vector<int> &arr, vector<int> &dp){
int len = 0; int index = 0;
for (int i = 0; i < dp.size(); i++) { //寻最长递增子序列末尾的位置和值
if (dp[i] > len) {
len = dp[i];
index = i;
}
}
vector<int> lis(len, 0);
lis[--len] = arr[index];
for (int i = index; i >= 0; i--){
if (arr[i] < arr[index] && dp[i] == dp[index] - 1){ //从后往前找子序列
lis[--len] = arr[i];
index = i;
}
}
return lis;
}
/* input
2 1 5 3 6 4 8 9 7
*/
/* output
1 3 4 8 9
*/
编译器:codeblocks
输入:
输出:
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