漫步微积分三十四——体积计算：圆柱壳法

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

还有一种去体积的方法，往往它比上篇文章的方法更加方便。

为了理解这种方法，考虑图1左边所示的区域，也就是，第一象限数轴和所示示曲线$y=f(x)$围成的区域。如果这个区域绕$x$轴旋转，那么图中的垂直窄带生成一个圆盘，我们能够从$x=0$到$x=b$区间上积分这些圆盘的体积得到总体积。当然，这是上篇文章中描述的圆盘法。然而，如果区域绕$y$轴旋转，就像图中间的那样，那么我们获得完全不同的物体，垂直窄带产生了很薄的圆柱壳。这个壳可以看做一个罐头，只是其顶部和底部已被去掉，或者很薄的纸板。其体积$dV$本质上是内圆柱表面积$(2\pi xy)$乘以厚度$(dx)$，所以

$$\begin{equation}dV=2\pi xydx\tag1\end{equation}$$

这个壳的半径$x$从$x=0$增长到$x=b$，从图1可以看出，圆柱壳序列填充沿着轴向外充满了整个物体。因此总体积就是$dV$体积元的和-或积分

$$\begin{equation}V=\int dV=\int 2\pi xydx=\int_0^b2\pi xf(x)dx\tag2\end{equation}$$

其中$y=f(x)$，原则上，体积$V$也可以用水平窄带得到的水平圆盘来计算；然而我们会发现这非常困难，因为给定的方程$y=f(x)$无法用$y$来表示$x$。

图1

和其他积分的应用一样，等式(1)(2)将涉及到和极限的复杂过程变成简洁的表达式，为了清楚起见，我们忽略这个过程的细节。

还跟之前一样，我们建议大家不要死记公式(2)。这个公式类似于对应的圆盘法公式，如果只是死记而不加思考的话，很容易将他们用混并打字自信。更好地方式是画图，直接从图中可见的信息来构建(1)，然后对形式(2)进行积分。此外，这种方法更大的优势，我们不用依赖于任何特定的符号，可以很容易将基本思想应用到各种轴旋转得到的物体上。

例1：上篇文章中我们用圆盘法计算了球体的体积。现在我们用圆柱壳法在此解决这问题(图2)。图中所示壳的体积为

$$\begin{align*}dV&=2\pi x(2y)dx\\&=4\pi x\sqrt{a^2-x^2}dx\end{align*}$$

因此球体的体积是

$$\begin{align*}V&=4\pi\int_0^ax\sqrt{a^2-x^2}dx=4\pi (-\frac{1}{3})(a^2-x^2)^{3/2}\Big|_0^a\\&=-\frac{4\pi}{3}(a^2-x^2)^{3/2}\Big|_0^a=\frac{4}{3}\pi a^3\end{align*}$$

图2

另外，我们考虑一个相关问题：如果一个直径为$a$的垂直洞通过了球中，那么如何找到剩余的体积。为此，显然积分$dV$ 的区间变成从$x=a/2$到$x=a$，所以

$$\begin{align*}V&=4\pi\int_{a/2}^ax\sqrt{a^2-x^2}dx=-\frac{4\pi}{3}(a^2-x^2)^{3/2}\Big|_{a/2}^a\\&=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{3}{4}a^2\right)^{3/2}=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{3\sqrt{3}}{8}a^3\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\pi a^3\end{align*}$$

这个问题可以用垫圈法解决，不是圆柱壳法更加方便。

例2：$y=x^2$上方和$y=2-x^2$下方在第一象限围成的区域绕$y$轴旋转(图3)。为了用圆柱壳法求出体积，通过观察可以看出壳的高度为$y=(2-x^2)-x^2=2-2x^2$，所以

$$\begin{align*}dV&=2\pi xydx=2\pi x(2-2x^2)dx\\&=4\pi x(x-x^3)dx\end{align*}$$

因为曲线交点位于$x=\pm 1$处，从而

$$\begin{align*}V&=4\pi\int_0^1(x-x^3)dx\\&=4\pi (\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x^4)\Big|_0^1=\pi\end{align*}$$

大家常常错误的积分区域设置为从$x=-1$到$x=1$。这个不正确的原因可以从几何上理解，圆柱壳横扫从数轴向外横扫物体的半径是从0增加到l，不是从-l增加到1。

注意，如果我们试图用圆盘法解决这个问题，那么它需要计算两个积分-一个是曲线交点下面的体积，另一个是上面的体积。

图3

例3：血流量。人类身体主动脉-大动脉-是一个管道，有人类拇指那样大。心脏通过跳动使血液通过动脉，靠近中心的血粒子移动速度约是$50\ cm/s(20\ in/s)$。另一方面，血液是粘稠的液体，动脉壁附近的血倾向于黏着在血管壁上，所以它的速度基本上为零。在这些情况下计算总流量的问题就需要用圆柱壳法积分得到。

我们用非常简单的想法开始，如果液体以恒定的速度$s_0$流经圆柱管，那么单位时间通过一个某处的液体体积(流量F)是$s_0A$，$A$是血管的截面面积(图4)。

然而，我们知道，人体动脉中血液流动比这复杂得多。我们假设动脉是圆柱形，长度为$L$半径为$R$(图5)。因为上面提到的粘度，在薄的圆柱内有血液流动，并且每层移动速度大约恒定而不同层的速度不同。这就是所谓的层流流动，血液在靠近动脉壁附近流速慢而中心位置流速快(如图5所示)，这样的话内部层滑到了外部的前面(图6)。

速度$s$和距中心距离$r$之间的确切关系是

$$\begin{equation}s=\frac{P}{4\eta L}(R^2-r^2)\tag3\end{equation}$$

图4

其中$P$是动脉之间的压力差，$\eta$是血液的粘度。我们注意到，如果速度$r=R$，那么速度为零；如果$r=0$，那么速度最大为$PR^2/4\eta L$。通常用厘米$(cm)$来度量$R,r,L$，用$dynes/cm^2$来度量$P$,$dyne-s/cm^2$来度量$\eta$，这样的话$cm/s$度量$s$。对于人体而言一般$R=0.2\ cm$，常数$P/4\eta L$是500。根据这些值(3)变为

$$\begin{align}s&=5000(0.2^2-r^2)\nonumber\\&=20-500r^2\quad cm/s\tag4\end{align}$$

图5

图6

这个函数图像时抛物线的一部分(图7)并且它还说明随着血粒子靠近血管壁，它的速度趋近于零。中心的速度为$20\ cm/s$，但是当$r=0.15$时，速度只有$s=20-500(0.15)^2=8.75\ cm/s$。

图7

现在，为了计算流量$F$(单位时间通过某处的总体积)，我们写出半径为$r$厚度为$dr$的圆柱壳的流量元$dF$：

$$\begin{align*}dF&=s\cdot 2\pi rdr\\&=\frac{P}{4\eta L}(R^2-r^2)\cdot 2\pi rdr\\&=\frac{\pi P}{2\eta L}(R^2r-r^3)dr\end{align*}$$

剩下的工作是将所有的壳加起来，即从$0$到$R$进行积分：

$$\begin{align*}F=\int dF&=\int_0^R\frac{\pi P}{2\eta L}\int_0^R(R^2r-r^3)dr\\&=\int_0^R\frac{\pi P}{2\eta L}(\frac{1}{2}R^2r^2-\frac{1}{4}r^4)\Big|_0^R=\frac{\pi P}{8\eta L}R^4\end{align*}$$

这个公式

$$\begin{equation}F=\frac{\pi P}{8\eta L}R^4\tag5\end{equation}$$

心血管生理学领域叫做$Poiseuille's\ law$。它表明流量与动脉半径的四次方成正比，所以半径增加一倍流量要乘以16。