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两位数乘法的速算方法（一）

一、范围

讲的是两位自然数的相乘，即如何计算ABXCD的相乘结果，例如86X32。

 

二、ABXCD相乘的专业说法

AB叫被乘数

CD叫乘数

 

三、原理

设两位数分别是10A+B,10C+D，其乘积为S，根据多项式展开：

S = (10A+B) X (10C + D) = 10A x 10C + B X 10C + 10A X D + BXD。

所谓速算，就是根据其中一些相等或者互补的关系，简化上述关系，从而快速得出运算结果。

 

四、互补

 

就是指两个数相加等于数字10。

 

五、ABXCD通俗说法

AB第一个乘数；

CD第二个乘数；

 

A、C叫头数，首数，首位；

B、D叫尾数，尾位。

 

六、首数相同的速算方法

1. 尾数互补

因为个位数互补，所以b+c = 10

(10a+b)(10a+c) = 100a²+10a(b+c) +bc = 100a²+10a x10 +bc

= 100a(a+1) +bc

速算方法：

1.首数加1乘以该首数；

2.然后连接上两尾数的乘积；

应用举例：

36X34=|(3 + 1) X 3| | 6 X 4|= | 12 | | 24 | = 1224

2. 尾数不互补

如：72X73

计算公式推导

(10a+b)(10a+c) = 100a²+10a(b+c) +bc = 10a (10a + b + c ) + bc =( (10a+b )+ c ) X 10a + bc

速算方法一：

1.第二个乘数的个位数与第一个乘数相累加；

2.然后乘以第二个乘数剩余的数；

3.最后，再加上两尾数的乘积；

应用举例：

72 *73 = （72 + 3 ）X 70 + 2*3 = 5256

 

(10a+b)(10a+c) = 100a²+10a(b+c) +bc

速算方法二：

1.计算首位数的平方，得数作为前积；

2.两尾数的和与首位相乘，得数作为中积；

3.两尾数相乘，得数作为后积；

 应用举例：

64 x 67

6 x 6 = 36

(4+7) x 6 = 66

4 x 7 = 28

结果为：4288

七、尾数相同的速算方法

1.首数互补

如：72X32

计算公式推导

因为十位数互补，所以有a + c = 10

(10a+b)(10c+b) = 100ac + 10(ba+bc) + b²=100ac + 10b(a + c) + b²

=100ac + 10bx10 + b²

=100(ac + b) + b²

速算方法：

1.两个首位相乘，其积再加上一个尾数，得数作为前积;

2.两尾数相乘，即尾数的平方，得数作为后积，没有十位补0;

 应用举例：

36 X 76 =| 3 X 7 + 6 | | 6 X 6|= | 27 | | 36 | = 2736

2. 首数不互补

如：72X22

计算公式推导

(10a+b)(10c+b) = 100ac + 10(ba+bc) + b²=100ac + 10b(a + c) + b²

速算方法：

1.首数乘以首数，再加尾数，得数作为前积；

2.看两个首数的和比10大多少，或者少多少；

比10大多少个，就加上几个尾数；

比10少多少个，就减上几个尾数；

加减的位置是：一位数十位加减；两位数百位加减；

结果作为中积；

3.尾数相乘，作为后积；

 应用举例：

67 X 87 =| 6 X 8 + 7 | | 7 X 7| + （6+ 8 -10 ）X 7 X 10= 5549 + 280

= 5829

八、特殊乘数的速算方法

1.乘数是11

（10a + b） x 11 = (10a + b) x (10 + 1) = 10(10a+b) + 10a + b

= 100a +10( a+ b) + b

速算方法：

两位数乘以11，此数两边去，中间留个空，用和补进去。

应用举例：

38 x 11 = 3 |3+8| 8 = 418

2.乘数是99

a x 99 = 100a – a =( a – 1 + 1) x 100 – a = (a-1) x 100 + 100 – a

= ((a-1) x 100) + (100 – a)

速算方法：

1.被乘数减1，放在前面；

2.100减去被乘数，放在后面；

 应用举例：

34 X 99 =| 34 – 1 | | 100 – 34| = 3366

九、特殊尾数的速算方法

1. 尾数都是1

(10a +1)(10b + 1) = 100ab + 10(a + b) + 1

速算方法：

1.十位与十位相乘，得数为前积；

2.十位与十位相加，得数接着写，满十进1；

3.再最后添加1；

应用举例：

51 X 81 =| 5 x 8 | | 5 + 8| 1 = 4131

 

2. 尾数都是5

 (10a +5)(10b + 5) = 100ab + 5(10a+10b) + 25 = 100ab + 50(a+b) +25

= 100( ab +(a+b)/2) + 25

速算方法：

1.用十位数字相乘的积再加上两个十位数字和的一半，作为前积；

2.再加上25，作为后积；

应用举例：

45 X 85 =| 4 x 8 + (4 + 8) / 2 | | 25| = 3825

注意：如果两个十位数字的和是奇数，那么和的一半就会出现0.5，那么这是0.5的这个5，就要添加到乘积的十位数字上去，也就是说，这时候的尾数是75，也就是说尾积是75。

 

请参考更多速算系列文章： 

两位数乘法的速算方法（一）        

 两位数乘法的速算方法（二）

两位数乘法的速算方法（三）