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粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO)是20世纪90年代兴起的一门学科,因其概念简明、实现方便、收敛速度快而为人所知。粒子群算法的基本思想是模拟鸟群随机搜寻食物的捕食行为,鸟群通过自身经验和种群之间的交流调整自己的搜寻路径,从而找到食物最多的地点。其中每只鸟的位置/路径则为自变量组合,每次到达的地点的食物密度即函数值。每次搜寻都会根据自身经验(自身历史搜寻的最优地点)和种群交流(种群历史搜寻的最优地点)调整自身搜寻方向和速度,这个称为跟踪极值,从而找到最优解。
粒子群算法是一门新兴算法,此算法与遗传算法有很多相似之处,其收敛于全局最优解的概率很大。
①相较于传统算法计算速度非常快,全局搜索能力也很强;
②PSO对于种群大小不十分敏感,所以初始种群设为500-1000,速度影响也不大;
③粒子群算法适用于连续函数极值问题,对于非线性、多峰问题均有较强的全局搜索能力。
其流程图如下:
每次搜寻的结果(函数值)即为粒子适应度,然后记录每个粒子的个体历史最优位置和群体的历史最优位置;
个体历史最优位置和群体的历史最优位置相当于产生了两个力,结合粒子本身的惯性共同影响粒子的运动状态,由此来更新粒子的位置和速度。
迭代次数:一般取100~4000,太少解不稳定,太多浪费时间。对于复杂问题,进化代数可以相应地提高;
惯性权重:该参数反映了个体历史成绩对现在的影响,一般取0.5~1;
学习因子:一般取0~4,此处要根据自变量的取值范围来定,并且学习因子分为个体和群体两种;
位置限制:限制粒子搜索的空间,即自变量的取值范围,对于无约束问题此处可以省略。
速度限制:如果粒子飞行速度过快,很可能直接飞过最优解位置,但是如果飞行速度过慢,会使得收敛速度变慢,因此设置合理的速度限制就很有必要了。
多峰问题对于算法的检验效果最佳,而上图显然是一个简单的非等距、非等高的多峰一元函数。
- 初始化种群
已知位置限制[0,20],由于一维问题较为简单,因此可以取初始种群N 为50,迭代次数为100,当然空间维数d 也就是1。
位置和速度的初始化即在位置和速度限制内随机生成一个N x d 的矩阵,对于此题,位置初始化也就是在0~20内随机生成一个50×1的数据矩阵,而对于速度则不用考虑约束,一般直接在0~1内随机生成一个50×1的数据矩阵。
此处的位置约束也可以理解为位置限制,而速度限制是保证粒子步长不超限制的,一般设置速度限制为[-1,1]。
每次搜寻都需要将当前的适应度和最优解同历史的记录值进行对比,如果超过历史最优值,则更新个体和种群的历史最优位置和最优解。
- 速度与位置的更新
速度和位置更新是粒子群算法的核心,其原理表达式和更新方式如下:
clc;clear;close all;
%% 初始化种群
f= @(x)x .* sin(x) .* cos(2 * x) - 2 * x .* sin(3 * x); % 函数表达式
figure(1);ezplot(f,[0,0.01,20]);
N = 50; % 初始种群个数
d = 1; % 空间维数
ger = 100; % 最大迭代次数
limit = [0, 20]; % 设置位置参数限制
vlimit = [-1, 1]; % 设置速度限制
w = 0.8; % 惯性权重
c1 = 0.5; % 自我学习因子
c2 = 0.5; % 群体学习因子
for i = 1:d
x = limit(i, 1) + (limit(i, 2) - limit(i, 1)) * rand(N, d);%初始种群的位置
end
v = rand(N, d); % 初始种群的速度
xm = x; % 每个个体的历史最佳位置
ym = zeros(1, d); % 种群的历史最佳位置
fxm = zeros(N, 1); % 每个个体的历史最佳适应度
fym = -inf; % 种群历史最佳适应度
hold on
plot(xm, f(xm), 'ro');title('初始状态图');
figure(2)
%% 群体更新
iter = 1;
record = zeros(ger, 1); % 记录器
while iter <= ger
fx = f(x) ; % 个体当前适应度
for i = 1:N
if fxm(i) < fx(i)
fxm(i) = fx(i); % 更新个体历史最佳适应度
xm(i,:) = x(i,:); % 更新个体历史最佳位置
end
end
if fym < max(fxm)
[fym, nmax] = max(fxm); % 更新群体历史最佳适应度
ym = xm(nmax, :); % 更新群体历史最佳位置
end
v = v * w + c1 * rand * (xm - x) + c2 * rand * (repmat(ym, N, 1) - x);% 速度更新
% 边界速度处理
v(v > vlimit(2)) = vlimit(2);
v(v < vlimit(1)) = vlimit(1);
x = x + v;% 位置更新
% 边界位置处理
x(x > limit(2)) = limit(2);
x(x < limit(1)) = limit(1);
record(iter) = fym;%最大值记录
% x0 = 0 : 0.01 : 20;
% plot(x0, f(x0), 'b-', x, f(x), 'ro');title('状态位置变化')
% pause(0.1)
iter = iter+1;
end
figure(3);plot(record);title('收敛过程')
x0 = 0 : 0.01 : 20;
figure(4);plot(x0, f(x0), 'b-', x, f(x), 'ro');title('最终状态位置')
disp(['最大值:',num2str(fym)]);
disp(['变量取值:',num2str(ym)]);
结果如下:
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