matlab interp1 pchip,matlab多项式插值interp1深入研究（1）「建议收藏」

学习matlab不久，遇到了多项式插值interp1，在网上没有找到研究其插值方法的文章，

在此，

对其中插值方法做了一些研究，属于matlab范畴之外，但是无聊研究一下总的来说不会有坏处。

interp1的具体运用也比较低，个人理解主要属于样本丢失，补充样本用，所以最后还介绍了傅里叶增值法。

正文：

首先介绍一个多项式插值函数：

Y=interp1(x,y,X,’mothod’) 本文主要讨论’mothod’的4个类型，

linear线性插值，默认。

nearst最近邻插值。

spline是三次样条插值。

cubic是三次多项式插值方式。%之后版本改为PCHIP

v5cubic是MATLAB5中使用的三次多项式插值，本文不做谈论，但是一同做出演示

先通过举例方法matlab代码看一下一维插值4个类型有什么不同吧：

首先给一组数

M代码，也可以直接输入在命令窗口

x0=-4:0.5:4;

y0=1./(2+x0.^3);

x=-4:0.2:4;

y1=interp1(x0,y0,x,’linear’);

y2=interp1(x0,y0,x,’nearst’);

y3=interp1(x0,y0,x,’spline’);

y4=interp1(x0,y0,x,’PCHIP’); %PCHIP和’cubic’是版本不同，老版本用y4=interp1(x0,y0,x,’cubic’);

y5=interp1(x0,y0,x,’v5cubic’);%MATLAB5中使用的三次多项式插值

subplot(2,3,1),plot(x0,y0,’r-p’);title(‘y=1/(x^3+2)’);

subplot(2,3,2),plot(x0,y0,’r-‘,x,y1);title(‘linear’);

subplot(2,3,3),plot(x0,y0,’r-‘,x,y2);title(‘nearst’);

subplot(2,3,4),plot(x0,y0,’r-‘,x,y3);title(‘spline’);

subplot(2,3,5),plot(x0,y0,’r-‘,x,y4);title(‘cubic’);

subplot(2,3,6),plot(x0,y0,’r-‘,x,y5);title(‘v5cubic’);

有matlab的同学不放敲一下代码，结果如下：

下面是几个函数的二维插值，举例看看有何不同

[x0,y0]=meshgrid(-3:0.8:3);%完成网格矢量

z0=peaks(x0,y0); %由平移和放缩高斯分布函数获得z0

[x,y]=meshgrid(-3:0.25:3);

z1=interp2(x0,y0,z0,x,y,’linear’);

z2=interp2(x0,y0,z0,x,y,’nearst’);

z3=interp2(x0,y0,z0,x,y,’spline’);

z4=interp2(x0,y0,z0,x,y,’cubic’);

subplot(2,3,1),surf(x0,y0,z0);title(‘原始数据’);

subplot(2,3,2),surf(x,y,z1);title(‘linear’);

subplot(2,3,3),surf(x,y,z2);title(‘nearst’);

subplot(2,3,4),surf(x,y,z3);title(‘spline’);

subplot(2,3,5),surf(x,y,z4);title(‘cubic’);

显示的不是很清晰，如果有matlab的朋友复制上面代码就可以显示了。

从上面图例可以看出这些插值方法还是有区别的，本文研究了一下具体的算法，在何种情况应用；

linear默认方法线性插值，就是线性回归，不懂的可以去看看http://t.cn/RtktoiB

nearst最近邻插值法，又称泰森多边形(Thiesen又叫Dirichlet或Voronoi多边形)分析法，是荷兰气象学家A.H.Thiessen提出的一种分析方法。简单的说，是求离散分布的气象站的降雨量数据，计算平均降雨量，现在GIS和地理分析中经常采用这种方法进行快速赋值。在泰森多边形的构建中，首先要将离散点构成三角网。这种三角网称为Delaunay三角网。北京奥运会的水立方即是基于此原理设计。首先创造网络，无数据的网络要被赋为空值，使最近相邻的数据点之间的距离相等。

查看很多百科，不去手动复制了，总体讲，这种方法适用于数据紧密完整，只有少数点无值。对均匀数据进行插值很有用，对填充无值区域很有效。

spline三次样条插值法。在用pchip插值的过程中，matlab会基于所给的函数值来帮你估算各导数值。估算的原则是保证导数值能够正确的反映散点图的形状和变化趋势。比如在散点图是单调递增的区间内，相应点的导数值就会是正的；在散点图表现出存在局部极值点的区间，相应的导数也会产生正负的变化。

样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。

原理：假设有以下节点

样条曲线

是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：

a. 在每个分段区间

(i = 0, 1, …, n-1，x递增)， 都是一个三次多项式。

b. 满足

(i = 0, 1, …, n )

c.  ，导数

，二阶导数

在[a, b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。

所以n个三次多项式分段可以写作：

，i = 0, 1, …, n-1

其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。

cubic立方插值法，matlab新版本叫做pchip三次hermite插值，与spline插值差不多，因为两者X(j)处斜率选择方法不同。spline函数s(x)在X(j)的二节数D^2s(x)也是连续的，导致了不同结果，也就是说，spline更加光滑，D^2s(x)是连续的。

只是spline更光滑一些，总的说，数据是更光滑的函数，spline更加准确，如果数据不光滑，PCBIC不会太震荡，也不会超过目标值，建立难度较小。pchip是保持形状的，而spline不一定保持形状。

总的来说，插值的类型要求数学功底比较深，纯编程朋友还是多多学习，否则随便用起来对数据产生不必要影响就不好了。 再遇到插值问题时，多问问数学专家为妙。

数据过少时，MATLAB可是实现利用傅里叶插值实现数据一维增值

%傅里叶增值

x0=0:1.2:10;

y0=sin(x0);

n=4*length(x0);%采样数据增加

y=interpft(y0,n);

x=0:0.3:10.5;

hold on

plot(x0,y0,’ro’);

plot(x,y,’b.-‘);

title(‘一维傅里叶插值’);

legend(‘原始数据’,’插值结果’);

MATLAB中效果如图：

傅里叶主要是波动，用在函数上非常准确，如果上面y换成，n=2,那么结果是这样的：

傅里叶变换是在数字信号处理方面很有用的一个方法，在通信和信息专业有很强的应用。

具体理论详见傅里叶分析，傅里叶变换