大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

前言

时间：2021年5月8日
作者：返祖猿

高等数学的开门红——极限是一个很折磨人的概念，于是花了一个下午的时间梳理课文，并将最终结论记录于此。
文内内容皆为作者本人对数列极限的理解，并不保证其正确性，仅供参考！
如有不妥，敬请指教。

课本：《高等数学（上册）（第三版）》
滕桂兰、杨万禄编；天津大学出版社；
节选自 $p33\to p34$

数列极限定义

1. 定义（课文原文）

设 { x n } \{x_n\} {
xn​} 是一个数列，$a$ 是一个定数。

如果对于任意给定的正数 $\epsilon$ （不管它多么小），总存在正整数 $N$，使得对于 $n>N$ 的一切 $x_n$，不等式 $|x_n-a|<\epsilon$ 都成立，则称数 $a$ 是数列 { x n } \{x_n\} {
xn​} 的极限，或称数列 { x n } \{x_n\} {
xn​} 收敛于 $a$，记做:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$，或 $x_n\to a(n\to \infty )$，

若数列 $x_n$ 没有极限就称数列是发散的。

2. 重点其一（课文原文）

（1）在定义中 $\epsilon >0$ 是任意给定的，这一点非常重要。只有 $\epsilon$ 具有任意性，才能用不等式 $|x_n-a|<\epsilon$ 表达出 $x_n$ 与 $a$ 无限接近的确切含义。

（2）定义中的整数 $N$ 的选取与 $\epsilon$ 有关。一般来说，当给定的 $\epsilon$ 越小，选取的 $N$ 就越大，但定义中的 $N$ 不是惟一的，因为极限定义并不要求找到最小的 $N$，而只要存在一个 $N$ 就可以了。

（3）数列极限定义，并没有直接提供求数列极限的方法，只能根据极限定义，验证给定的数列 { x n } \{x_n\} {
xn​} 是否以 $a$ 为极限。

3. 数列 { x n } \{x_n\} {
xn​} 以 $a$ 为极限的几何解释（课文原文）

从几何上看，数列 { x n } \{x_n \} {
xn​} 是数轴上的一串点，$a$ 是数轴上的一个确定点。

在数轴上做出 $a$ 点的 $\epsilon$ 邻域，即开区间 $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$，
因绝对值不等式 $|x_n-a|<\epsilon$,
与不等式 $a-\epsilon <x_n<a+\epsilon$,
等价，所以当 $n>N$ 时，所有的点 $x_n$，都落在 $a$ 点的 $\epsilon$ 邻域内，而只有有限多个点（最多只有N个）落在邻域的外面。这就是 $\underset{x\to \infty }{\lim }{x}_n=a$ 的几何意义（如图）。

my. 笔记部分

在理解定义之前，首先声明一下内容：

1. 数列极限在 $n\to \infty$ 处产生，所以应该着眼于 $n$ 越来越大的情况，即数列的后半部分。
2. 根据课文内容，极限定义只能验证 $a$ 是否是数列 $x_n$ 的极限，所以只从此角度着手。
3. 图像是用于理解数列极限的强大工具，本文将通过图像来理解定义。

OK，接下来就是 胡言乱语 的部分了。

Ⅰ. 从坐标轴上理解定义

数列 { x n } \{x_n\} {
xn​} 的第 $n$ 项总可以写成一个与 $n$ 有关的式子：$x_n=f(n)$
联立不等式：$|x_n-a|<\epsilon$
一般 可以解出 $n$ 关于 $\epsilon$ 的不等式：$n>f(\epsilon )$

从图像的角度来看：
$\epsilon$ 代表了 $a$ 邻域的大小，不等式 $|x_n-a|<\epsilon$ 的含义即为：满足该不等式的所有 $x_n$ 都会落在 $a$ 的 $\epsilon$ 邻域中；
那么可以说：所有 $n>f(\epsilon )$ 都使 $x_n$ 落在 $a$ 的 $\epsilon$ 邻域中。

我们再从数列的角度理解上面这句话：
我们知道，数列 { x n } \{x_n\} {
xn​} 的第一项 $x_1$ 到 $x_n$ 为止，它的 $n$ 是不断增大的，不断增大的 $n$ 即代表了不断向后延续的每一个 $x_n$ 项；
而从某个 $n>f(\epsilon )$ 开始，这个 n 及其之后的每一个 $x_n$ 项都落在 $a$ 的 $\epsilon$ 邻域中。

若上面这句话就此结束，可能让人摸不着二丈头脑，还请稍安勿躁，它要与下面段句话搭配食用。

最后，我们从数列极限的角度去理解：
数列极限一定在 $n\to \infty$ 处产生，故，需要让 $n$ 越来越大，才能看出 $x_n$ 越来愈接近某个数，这个数就是 $a$，即数列极限；
从图像的角度来看，若 $n$ 越来越大，随之 $x_n$ 越来越接近其级限值 $a$，在图像上就会呈现为：从 $n$ 开始的每一项 $x_n$ 都分布在 $a$ 的周围，且随着 $n\to \infty$，$x_n$ 所占据的 $a$ 的邻域的范围也会越来越小，即 $\epsilon \to 0$；

换言之，若 $\epsilon$ 越来越小，其对应的 $n>f(\epsilon )$ 反而越来越大，且不管 $n$ 怎么大，其及其之后的所有 $x_n$ 仍然落在 $a$ 的 $\epsilon$ 邻域中，不就证明 $a$ 是 { x n } \{x_n\} {
xn​} 的极限了吗？

Ⅱ. 理解定义文字叙述

再回过头来看定义的文字叙述，$N$ 是什么呢？
$N$ 应该是小于等于 $f(\epsilon )$ 的最大整数，只有这样才能说：对于 $n>N$ 的一切 $x_n$，不等式 $|x_n-a|<\epsilon$ 都成立。

对于不同的 $\epsilon$，$N$ 的具体值是不确定的，但若数列 { x n } \{x_n\} {
xn​} 有极限，不管 $\epsilon$ 取值多少，$N$ 必定是存在的。

Ⅲ. $n>f(\epsilon )$ 时 $f(\epsilon )$ 的单调性

若以辩证的目光看到这里，想必会看到上文叙述中的漏洞：凭什么说 $n$ 会随着 $\epsilon$ 的变小而增大呢？若 $f(\epsilon )$ 单调递增，$n$ 反而会随着 $\epsilon$ 的变小而变小！

现在来思考一个这样的画面：
$a$ 的 $\epsilon$ 邻域与 $f(\epsilon )$ 无关，$\epsilon$ 越小，$a$ 的 $\epsilon$ 邻域必然越小，
假设 $f(\epsilon )$ 单调递增，即 $n$ 随 $\epsilon$ 变小，那么 $n$ 之后的 $x_n$ 项就会越来越多，
于是，随着 $a$ 的 $\epsilon$ 邻域变小，落在邻域上的 $x_n$ 项反而越来越多……

到底是个什么异次元数列才能干出这种事？？

所以一般来说，$f(\epsilon )$ 是单调递减的。

明白为什么做这种题总会得到一个又臭又长的分数函数了吧！

Ⅳ. 假设得到了 $n<f(\epsilon )$ 的不等式

还是从图像的角度来：
$\epsilon$ 代表了 $a$ 邻域的大小，不等式 $|x_n-a|<\epsilon$ 的含义即为：满足该不等式的所有 $x_n$ 都会落在 $a$ 的 $\epsilon$ 邻域中；
若算着算着得到了 $n<f(\epsilon )$ 这样的不等式，那就说明能够落到 $a$ 的 $\epsilon$ 邻域的只有从 $1$ 到 $n$ 的几项 $x_n$。

数列的极限一定在 $n\to \infty$ 出产生，然而 $n$ 项之后的 $x_n$ 无法落到 $a$ 的 $\epsilon$ 邻域中，那就说明这个数列是发散的。

还有可能是算错了。

大概红字部分的可能性更高。

Ⅴ. 其他

如课文所说，通过数列极限定义只能验证 $a$ 是否是数列 { x n } \{x_n\} {
xn​} 的极限，而不能直接算出该数列的极限。

需注意，$f(\epsilon )$ 是为了方便叙述写的，定义中并没有这东西。

$n$ 与 $N$ 并无本质区别，无非一个是泛指，一个是特指。为了避免混乱，大多数情况下使用 $n$ 进行叙述。

后语

本来想顺便把函数极限定义写下来的，没曾想把书给放教室里了，那就让我摸个?吧。

不管是数列极限定义还是函数极限定义，其难点都在 $N$、$\epsilon$、$\sigma$、$X$ 的模糊性中，然而极限这东西本来就挺模糊的，还是应该放宽心态去看待。

各路大神若有指教敬请留言区评论。

再见。