函数的极限定义

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

函数的极限情况

情况1：
自变量x任意地接近于有限值x0，记作x->x0时，函数f(x)的变化情况；
情况2：
自变量x的绝对值|x|无限取向正无穷的时，函数f(x)的变化情况；

然后明白下去心邻域：
以x0这一点为中心的任何开区间——称为点x0的邻域。用符号表达为：U(x0)
如果去掉x0这个点，那么就是去心邻域，用符号表达为：U’(x0)

定义：
|f(x)-A|<small value，x无限趋向于x0

这里的：
small value可以任意小，要多小有多小。
A是一个常数。
那么此时必须有个前提是，存在一个正数some value使得，0<|x-x0|<some value
也就是在x0的去心邻域内，函数f(x)的值，无限接近A，也就是|f(x)-A|可以任意小了。
此时A，就是f(x)在x趋向x0时候的极限了。

例题1：
证明函数f(x)=x在x趋向x0的极限是x0。

这貌似是一个废话。

首先写出如何计算机械，|f(x)-A|=|f(x)-x0|，此时要满足任意小。

|f(x)-A|=|f(x)-x0|=|x-x0|<small value
此时是否存在一个数字，使得在x0的邻域内，满足呢？
x0的邻域怎么表达呢？
是：0<|x-x0|<some value
ok，我们正好利用|x-x0|<small value这个式子。
此时只要让some value等于small value就找到了这个正数。

例题2：
证明函数2x-1在x趋向于1的极限是1
貌似这个也是一句废话。

函数2x-1，减去极限1的绝对值，得到的是|2x-1-1|=2|x-1|，此时要让2|x-1|<small value
此时能否找到x在1点的邻域呢？
0<|x-x0|<some value
我们将2|x-1|<small value
两边除以2，得到：|x-1|<small value / 2
ok，我们找到了，我们只要让some value = small value / 2即可。

总结：
证明一个函数在x趋向于某个数字x0的极限是A，那么首先，让这个函数减去这个极限。
然后看看能否在x0处找到对应的邻域，邻域宽度是some value。

附带图：

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下面是极限的情况2：
当自变量x的绝对值无限趋向于正无穷的时候，函数的极限情况。

定义：
找到一个数字some value，使得|x|>some value，还能够满足|f(x)-A|<small value

所以我们的核心是要找到这个X，即是自变量的x的界。

举例1：
证明：函数1/x，在x趋向于无穷的时候的，极限为0。
这是一句废话，那么怎么证明这个废话呢？

首先：|f(x)-A|<small value
|1/x-0| < small value
等价于：
|1/x|<small value
此时small value是任意小量，但是大于0。
所以：
1/|x| < small value

而我们找到的那个数字，是要满足|x| > some value
正好上个式子，变化下得到：|x|>1/small value
此时我们只要让X等于1/small value即可。

这样我们就找到了X了。

附带图：