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概述

  本文旨在说明RSA加密算法的原理及实现，而其相关的数学部分的证明则不是本文内容。

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作者：Q-WHai

发表日期： 2016年2月29日

本文链接：http://blog.csdn.net/lemon_tree12138/article/details/50696926

来源：CSDN

更多内容：分类 » 数据加密与信息安全

RSA简介

  1977年，三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。从那时直到现在，RSA算法一直是最广为使用的”非对称加密算法”。毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。

                                                                                   — 摘自网络

数学背景

  此部分旨在补充本文的完整性。如果说你已经了解，或是不想了解此部分内容。那么可以直接跳过此部分的阅读。

  虽说只是补充说明（只能是补充的原因是因为博主的数学也是比较差的-_-!!!），但是此部分的内容却是相当重要的。博主还是希望可以重新阅读一下此部分。

1.互质

  从小学开始，我们就了解了什么是质数。互质是针对多个数字而言的，如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，那么就称这两个数是互质关系（注意，这里并没有说这两个数一定是质数或有一个为质数。比如15跟4就是互质关系）。以下有一些关于质数与互质的性质：

• 质数只能被1和它自身整除
• 任意两个质数都是互质关系
• 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系
• 如果两个数之中，较小的那个数是质数，且较大数不为较小数的整数倍，则两者构成互质关系
• 1和任意一个自然数是都是互质关系
• p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系
• p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系

2.欧拉函数

  欧拉函数是求小于x并且和x互质的数的个数。其通式为：φ(x) = x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)。

  其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。看到这里是不是有一些头疼，太理论的东西的确不够具象。我们且不去理会后面公式计算与论证，因为已经超出本文的范围了。就前一句来说说吧，欧拉函数是求小于x并且和x互质的数的个数。这里我可以列举一个例子：

  令x = 16，那么x的所有质因数为：φ(16) = 16 * (1 – 1/2) = 8

  我们也可以枚举出所有比16小，且与16互质的数：1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

  现在也给出部分欧拉函数的性质：

• 若n是素数p的k次幂，，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质
• 欧拉函数是积性函数——若m,n互质，
• 当n为奇数时，
• p是素数，，φ(p)称为p的欧拉值

  欧拉函数更多参考请见这里的链接。

3.模反元素

定义：如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。

关于模反元素的求解，使用的是朴素的解法。如果读者想要更进一步了解的话，请自行搜索其他解法（比如：辗转相除法、欧几里德算法）。

RSA原理

  在RSA原理之前，我想还是有必要了解一下非对称加密算法的加密跟解密过程。下面就是一幅非称加密算法的流程图。

  在此可以看到，非对称加密是通过两个密钥（公钥-私钥）来实现对数据的加密和解密的。公钥用于加密，私钥用于解密。对于非对称的加密和解密为什么可以使用不同的密钥来进行，这些都是数学上的问题了。不同的非对称加密算法也会应用到不同的数学知识。上面也对RSA中使用的数学问题做了一个小小的介绍。现在就来看看RSA算法是怎么来对数据进行加密的吧，如下是一幅RSA加密算法流程及加密过程图。

RSA算法优点

1. 不需要进行密钥传递，提高了安全性
2. 可以进行数字签名认证

RSA算法缺点

1. 加密解密效率不高，一般只适用于处理小量数据（如：密钥）
2. 容易遭受小指数攻击

其他加密算法相关参考：

AES 加密算法的原理详解：https://blog.csdn.net/gulang03/article/details/81175854

Java实现AES和RSA算法：https://blog.csdn.net/gulang03/article/details/81771341

JS 与 JAVA 跨语言实现 RSA 和 AES加密算法：https://blog.csdn.net/gulang03/article/details/82230408