matlab多重比较lsd法,多重比较LSD-t值的计算（附证明方法）

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

多重比较LSD-t值的计算

问题的提出：

向学术期刊投稿时，“变态”的审稿人向你“索要”LSD-t值，可是SPSS的输出结果中没有这个值——是不是有点悲催？！另外，大家还会有一个常见的疑问：采用LSD-t法进行两两比较之后得出来的p值，需不需要调整显著性水平？

我们先把原始数据和答案给出来，然后再讲一讲其中的数理逻辑。

本例使用的原始数据如下图所示，有兴趣的读者可以用本数据进行对照学习(本例采用单因素方差分析，具体的步骤就不再列出了)：

通过单因素方差分析并采用LSD-t法进行多重比较(即在“事后比较(Post Hoc)”次对话框中勾选“LSD”)，在SPSS中得到的多重比较结果如下图：

现在，我们来回答前述两个问题的答案：

1、关于LSD-t值的计算：LSD-t=Mean Difference(I-J)/Std. Error(即LSD-t=均值差/标准误差)

在实际操作中，为了求得具体的LSD-t值，我们可以将上表复制到EXCEL中，并且对均值差这一列进行数据整理(因为其中有些数据后面标着星号，其此时已经不是数值格式)，然后再将均值差除以标准误差，即可得到各对两两比较之间的Lsd-t值，如下图最右侧红色框中所示：

2、关于显著性水平的问题：由LSD-t多重比较法得到的p值就是上表中绿框内Sig.值，此时，不需要再进行显著性水平的调整，以0.05作为显著性水平即可。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝我是分割线，下面进入数理逻辑的讲解＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

LSD-t法的基本思想：

我们知道，当只有两个独立样本时，可以采用独立样本t检验来进行两组的比较。当组别大于等于三时，应进行方差分析。如果方差分析的p值小于0.05，则说明组间存在显著性的差异，这时我们就需要通过多重比较(又称“两两比较”)来找出到底是哪两组或者哪几组之间存在显著性差异。如果再通过各组别间的独立样本t检验来做多重比较的话，首先是麻烦，它需要进行N多次的两两比较(显得有点“傻大笨”)，更重要的是它会增大犯Ⅰ类错误的概率。

综上，统计学家们为了解决三组或三组以上数据之间两两比较的问题，发挥个人主观能动性，研究出了各种算法(SPSS中就集成了十几种算法)，LSD就是其中之一。

LSD-t法是采用的是t检验的基本逻辑，其核心思想是在保持显著性水平不变的情况下，寻找新的统计量(即LSD-t值)代替t统计量(即t值)来进行t检验，所以其本质上依然是t检验，故而我们经常把它写成”LSD-t检验”。但是，与独立样本t检验相比，LSD-t法在统计量(LSD-t)、自由度(v)等方面做了调整，它充分利用了样本信息，故而相比之下更为精确和可靠。

下图是LSD-t值的公式：

好了，原理大致说完了，下面我们根据上述数学原理来手动计算LSD-t值。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝我是分割线，下面进入LSD-t值的计算＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

首先，我们到SPSS输出的方差分析表中去寻找后续计算中会用到的数据，方差分析表如下：

由上表可知：

此时，我们再来看一下SPSS输出的LSD-t多重比较表中的标准误差值：

SPSS计算出来的标准误差是0.20930，而我们手工计算的是0.209165，略有差异。那么，问题出在哪儿呢？

在上面的方差分析表中(ANOVA表)，组内均方值0.175是机显值，而并非真实值，如下图所示：

此时我们发现，组内均方值应为0.175221，我们以该值代入标准误差的公式再计算一遍：

为了满足好奇心，我们以0.175220代入标准误差的公式再计算一遍：

综合上述三次计算，整理后可得下表：

由上表可见，我们手动计算出来的p值与SPSS为我们计算的p值是一致的，我们看上去的不一致只是机显值和四舍五入等原因带来的，并不是我们计算有误。

由此，我们就可以确定一点：SPSS输出的LSD-t多重比较表(Multiple Comparisons)中的标准误差(Std. Error)就是根据LSD-t法的数学公式计算出来标准误差，我们可以直接把它拿过来用于参与LSD-t值的计算，而不需要手动计算标准误差了。

书接上文，咱们继续手动计算LSD-t值，这就很简单了：将数据复制到EXCEL中，根据LSD-t的计算公式，我们只需要将均值差除以标准误差(标准误差采用SPSS输出的值)就可以得到 LSD-t值了。

至此，我们就可以得出第一个重要的结论：LSD-t值等于LSD多重比较表格中的均值差除以该表中的标准误差。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝我是分割线，下面进入LSD-t检验p值的计算＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

我们再来温习一下关于是否需要调整显著性水平的问题，这就又一次回到LSD-t检验的数学思想——在保持显著性水平不变的前提下，弃用独立样本t检验，转而寻找新的统计量(即LSD-t)代替独立样本t检验的t统计量来进行组间的比较(依然使用t检验)。关于LSD-t检验与t检验的区别，前面已经讲了，LSD-t检验充分利用了样本信息来进行两两比较，如组内均方、组内自由度、组内观测值数量等等，不再过多叙述。

我们下面再进一步利用EXCEL来计算LSD-t检验的p值。具体方法是利用TDIST函数，其函数表达式如下：

f(x)=TDIST(X，Deg_freedom，Tails)

TDIST函数的对话框如下所示：

对于本案例中TDIST函数参数的说明：

1.使用LSD-t值来计算t分布的数值(即p值)；同时，由于该函数要求X值必须是正值，所以需要先对LSD-t求绝对值，然后再用其绝对值参与计算。

2.本例中，自由度为32-4 =28。

3.使用双尾检验，故TDIST函数第三个参数值为2。

运算过程和运算结果如下图所示：

为了验证计算的正确性，我们将手动计算的p值与SPSS为我们算出来的p值进行对照，如下图所示：

可以看到，甲组和乙组两两比较时手工计算出来的p值(0.0017)和SPSS计算出来的p值(0.002)不一致，其他的组别在两两比较时的p值都是一致的。关于这个问题的原因，也是机显值和四舍五入等原因造成的。我们可以再进行进一步的验证——如下图所示，p＝0.002对应的实际p值为0.001652，其也可近似认为是0.017。