RSA加密算法详解及例题

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

这是我自己在学习RSA加密算法的时候自己整理的笔记，如需转载请注明出处

RSA加密算法

我这里就不对RSA的发明背景做介绍了，你只要知道RSA加密算法是非常非常重要的加密算法，放在现在的时代亦是如此。

RSA加密算法的安全性是基于对极大整数做因数分解的困难。
RSA算法是一种非对称密码算法，所谓非对称，就是指该算法需要一对密钥，使用其中一个加密，则需要用另一个才能解密。例如：
（1）乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。
（2）甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。
（3）乙方得到加密后的信息，用私钥解密
公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。

密钥生成过程

1、 随机找两个质数 P 和 Q ,P 与 Q 越大，越安全；
2、 计算他们的乘积 n = P * Q
3、 计算 n 的欧拉函数 φ(n)：φ(n) = φ(P * Q)= φ(P – 1)φ(Q – 1) = (P – 1)(Q – 1)
4、 随机选择一个整数 e，条件是 1< e < φ(n)，且 e 与 φ(n) 互质
5、 计算e对于 φ(n) 的模反元素d，可以使得 ed 除以 φ(n) 的余数为 1
( 1<d<e，且ed mod φ(n) = 1 ) 即：d=e^-1 ( mod φ(n) )
6、 公钥（n，e)；私钥（n，d)；

RSA使用公共指数e和私有指数d。指数e是每个人都知道的公钥(e, N)的一部分。使用公钥e加密的消息只能使用私钥d解密

加解密过程

c：密文
m：明文
加密：c = m^e mod N
解密：m = c^d mod N

例题

例题：在RSA加密体制中, 已知素数 p = 7, q = 11, 公钥 e = 13, 试计算私钥 d 并给出对明文 m = 5 的加密,求其密文. 已知密文 c = 15, 求其明文

解：
n=pq=77
φ(n)=(p-1)(q-1)=60
ed≡1 mod φ(n)
即13d mod 60 = 1
解得：d = 37
公钥（n,e）=(77,13)
密文c = m^e mod n = 5^13 mod 77 = 26
私钥（n,d）=(77,37)
明文m = c^d mod n = 15^37 mod 77 = 71