最长递增子序列的三种算法

最长递增子序列的三种算法转载自:http://qiemengdao.iteye.com/blog/1660229最长递增子序列 问题给定一个长度为N的数组,找出一个最长的单调自增子序列(不一定连续,但是顺序不能乱)。例如:给定一个长度为6的数组A{5,6,7,1,2,8},则其最长的单调递增子序列为{5,6,7,8},长度为4.解法1:最长公共子序列法这个问题

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。

转载自:http://qiemengdao.iteye.com/blog/1660229

最长递增子序列

 

问题

给定一个长度为N的数组,找出一个最长的单调自增子序列(不一定连续,但是顺序不能乱)。例如:给定一个长度为6的数组A{5, 6, 7, 1, 2, 8},则其最长的单调递增子序列为{5,6,7,8},长度为4.

解法1:最长公共子序列法

这个问题可以转换为最长公共子序列问题。如例子中的数组A{5,6, 7, 1, 2, 8},则我们排序该数组得到数组A‘{1, 2, 5, 6, 7, 8},然后找出数组A和A’的最长公共子序列即可。显然这里最长公共子序列为{5, 6, 7, 8},也就是原数组A最长递增子序列。最长公共子序列算法在算法导论上有详细讲解,这里简略说下思想。

假定两个序列为X={x1, x2, …, xm}和Y={y1, y2, …, yn),并设Z={z1, z2, …, zk}为X和Y的任意一个LCS。

1)如果xm = yn,则zk = xm=yn,且Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS。

2)如果xm != yn, 则zk != xm蕴含Z是Xm-1和Y得一个LCS。

3)如果xm != yn, 则zk != yn蕴含Z是X和Yn-1的一个LCS。

最长递增子序列的三种算法

最长递增子序列的三种算法

解法2:动态规划法(时间复杂度O(N^2))

设长度为N的数组为{a0,a1, a2, …an-1),则假定以aj结尾的数组序列的最长递增子序列长度为L(j),则L(j)={ max(L(i))+1, i<j且a[i]<a[j] }。也就是说,我们需要遍历在j之前的所有位置i(从0到j-1),找出满足条件a[i]<a[j]的L(i),求出max(L(i))+1即为L(j)的值。最后,我们遍历所有的L(j)(从0到N-1),找出最大值即为最大递增子序列。时间复杂度为O(N^2)。

例如给定的数组为{5,6,7,1,2,8},则L(0)=1, L(1)=2, L(2)=3, L(3)=1, L(4)=2, L(5)=4。所以该数组最长递增子序列长度为4,序列为{5,6,7,8}。算法代码如下:

Cpp代码  
收藏代码

  1. #include <iostream>  
  2. using namespace std;  
  3. #define len(a) (sizeof(a) / sizeof(a[0])) //数组长度  
  4. int lis(int arr[], int len)  
  5. {  
  6.     int longest[len];  
  7.     for (int i=0; i<len; i++)  
  8.         longest[i] = 1;  
  9.   
  10.     for (int j=1; j<len; j++) {  
  11.         for (int i=0; i<j; i++) {  
  12.             if (arr[j]>arr[i] && longest[j]<longest[i]+1){ //注意longest[j]<longest[i]+1这个条件,不能省略。  
  13.                 longest[j] = longest[i] + 1; //计算以arr[j]结尾的序列的最长递增子序列长度  
  14.             }  
  15.         }  
  16.     }  
  17.   
  18.     int max = 0;  
  19.     for (int j=0; j<len; j++) {  
  20.         cout << “longest[“ << j << “]=” << longest[j] << endl;  
  21.         if (longest[j] > max) max = longest[j];  //从longest[j]中找出最大值  
  22.     }  
  23.     return max;  
  24. }  
  25.   
  26. int main()  
  27. {  
  28.     int arr[] = {1, 4, 5, 6, 2, 3, 8}; //测试数组  
  29.     int ret = lis(arr, len(arr));  
  30.     cout << “max increment substring len=” << ret << endl;  
  31.     return 0;  
  32. }  

解法3:O(NlgN)算法

假设存在一个序列d[1..9] ={ 2,1 ,5 ,3 ,6,4, 8 ,9, 7},可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B,然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外,我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1

接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2

再来,d[4] = 3,它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,因为1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样很容易推知,长度为2的LIS最小末尾是3,于是可以把5淘汰掉,这时候B[1..2] = 1, 3,Len = 2

继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧? Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3

第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。

最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

注意,这个1,3,4,7,9不是LIS,它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾,我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义,但是如果后面再出现两个数字 8 和 9,那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了:在B中插入数据是有序的,而且是进行替换而不需要挪动——也就是说,我们可以使用二分查找,将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)~!

代码如下(代码中的数组B从位置0开始存数据):

Cpp代码  
收藏代码

  1. #include <stdio.h>  
  2. #include <stdlib.h>  
  3. #include <string.h>  
  4.   
  5. #define N 9 //数组元素个数  
  6. int array[N] = {2, 1, 6, 3, 5, 4, 8, 7, 9}; //原数组  
  7. int B[N]; //在动态规划中使用的数组,用于记录中间结果,其含义三言两语说不清,请参见博文的解释  
  8. int len; //用于标示B数组中的元素个数  
  9.   
  10. int LIS(int *array, int n); //计算最长递增子序列的长度,计算B数组的元素,array[]循环完一遍后,B的长度len即为所求  
  11. int BiSearch(int *b, int len, int w); //做了修改的二分搜索算法  
  12.   
  13. int main()  
  14. {  
  15.     printf(“LIS: %d\n”, LIS(array, N));  
  16.   
  17.     int i;  
  18.     for(i=0; i<len; ++i)  
  19.     {  
  20.         printf(“B[%d]=%d\n”, i, B[i]);  
  21.     }  
  22.   
  23.     return 0;  
  24. }  
  25.   
  26. int LIS(int *array, int n)  
  27. {  
  28.     len = 1;  
  29.     B[0] = array[0];  
  30.     int i, pos = 0;  
  31.   
  32.     for(i=1; i<n; ++i)  
  33.     {  
  34.         if(array[i] > B[len-1]) //如果大于B中最大的元素,则直接插入到B数组末尾  
  35.         {  
  36.             B[len] = array[i];  
  37.             ++len;  
  38.         }  
  39.         else  
  40.         {  
  41.             pos = BiSearch(B, len, array[i]); //二分查找需要插入的位置  
  42.             B[pos] = array[i];  
  43.         }  
  44.     }  
  45.   
  46.     return len;  
  47. }  
  48.   
  49. //修改的二分查找算法,返回数组元素需要插入的位置。  
  50. int BiSearch(int *b, int len, int w)  
  51. {  
  52.     int left = 0, right = len – 1;  
  53.     int mid;  
  54.     while (left <= right)  
  55.     {  
  56.         mid = left + (right-left)/2;  
  57.         if (b[mid] > w)  
  58.             right = mid – 1;  
  59.         else if (b[mid] < w)  
  60.             left = mid + 1;  
  61.         else    //找到了该元素,则直接返回  
  62.             return mid;  
  63.     }  
  64.     return left;//数组b中不存在该元素,则返回该元素应该插入的位置  
  65. }  
版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。

发布者:全栈程序员-用户IM,转载请注明出处:https://javaforall.cn/130628.html原文链接:https://javaforall.cn

【正版授权,激活自己账号】: Jetbrains全家桶Ide使用,1年售后保障,每天仅需1毛

【官方授权 正版激活】: 官方授权 正版激活 支持Jetbrains家族下所有IDE 使用个人JB账号...

(0)
blank

相关推荐

  • 安装VMware 和Ubuntu教程 以及ubuntu更新源「建议收藏」

    安装VMware 和Ubuntu教程 以及ubuntu更新源「建议收藏」1、VMwareWorkstation安装教程,见链接https://jingyan.baidu.com/article/9f7e7ec09da5906f281554d6.html2.VMware虚拟机下安装ubuntu操作系统(1)、下载ubuntu操作系统镜像(2)、点击文件–新建虚拟机,或者点击右边新建虚拟机。(3)、这里选择典型的安装模式(4)、点击下一步,选择安装…

  • OpenCV 的颜色空间转换

    OpenCV 的颜色空间转换

    2021年11月21日
  • JAVA数组的定义及用法

    JAVA数组的定义及用法

  • json到底是什么(c# json)

    &gt;如果点进来的刚巧是个高手,那……你就当是过来做个鉴定的吧。很多从事数据分析工作的伙伴都是从“最简单”的神器—Excel开始入门的,对编程语言、计算机世界的很多工具都不甚了解。要做结构化的数据,就赶紧跑去自学sql,学习sqlserver或是mysql数据库。要做半结构化、非结构化的数据又得去学习诸如mongo数据库的东西。&gt;天天听对面的程序员小哥说我给你个打包个j…

  • 国外最流行的Bootstrap后台管理模板「建议收藏」

    国外最流行的Bootstrap后台管理模板「建议收藏」工欲善其事,必先利其器对于从事软件开发的您也一样,有一套熟悉的bootstrap后台ui框架让您的开发速度大幅度提升这是本人经常使用到的一些bootstrap后台框架推荐给大家第一名inspiniabootstrap演示地址http://cn.inspinia.cn效果图http://cn.inspinia.cnhttp://cn.inspinia.cn第二名…

  • Python创建微信机器人「建议收藏」

    Python创建微信机器人「建议收藏」微信,一个日活10亿的超级app,不仅在国内社交独领风骚,在国外社交也同样占有一席之地,今天我们要将便是如何用Python来生成一个微信机器人,突然想起鲁迅先生曾经说过的一句话:因为是微信机器人系列的第一篇文章,所以猪哥会特别详细的讲解每一地方,尽量使每一位想学习的同学都能顺顺利利的开始,下面就让我们一起来做些有趣的事吧!一、项目介绍1.微信库选择python关于开发微信的库主要有it…

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。

关注全栈程序员社区公众号