RSA加密算法详细解说[通俗易懂]

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

RSA加密算法是一种非对称加密算法，于1977年由
罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）
阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）
伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。

RSA的优势：对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠

加密由公钥，私钥，明文，密文，四部分组成。

`质数与互质数`

一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为质数（素数）；否则称为合数。

例如，15＝3×5，所以15不是素数
13除了等于13×1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数
1不是质数，也不是合数
公约数只有1的两个数，叫做互质数。

`取模运算`

也就是求余数
例如，10 mod 3 = 1（10%3=1）、26 mod 6 = 2 、28 mod 2 = 0

`同余定理`

“≡”是数论中表示同余的符号
同余的定义如下：
给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a – b能被m整除，即(a – b)modm=0，
那么就称整数a与b对模m同余，记作a ≡ b ( mod m)，同时可成立a mod m = b
注意，同余与模运算是不同的
显然,有如下事实
（1）若a≡0(mod m)，则m|a；
（2）a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同。

`欧拉函数`

任意给定正整数n，计算在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示.

例如，在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以φ(n)=4

在RSA算法中，欧拉函数对以下定理成立
1.如果n可以分解成两个互质的整数之积，即n=p×q，则有：φ(n)=φ(pq)=φ( p )φ( q );
2.当p为质数，φ( p )=p-1

所以有φ(n)=(p-1)(q-1)

`欧拉定理与模反元素`

欧拉函数的用处，在于欧拉定理
“欧拉定理”指的是:
如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的等式成立：
a^φ(n)≡1(modn)
也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1

模反元素的推导过程如下:
根据欧拉定理，有：
a^φ(n) = a × a^(φ(n)−1)≡1(modn)

令b=a^(φ(n)−1)，得：

ab≡1(modn)
b就是a的模反元素
所以，如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b使得ab-1被n整除，或者说ab被n除的余数是1

所以求私钥d的公式：d*e≡1mod[(p-1)(q-1)]

其中{φ(n) = (p-1)(q-1),φ(n) 与e互质，k为正整数}
可化为：d= (k*φ(n)+1)/e

推导公式：d*e≡1mod φ(n)

可得：(d*e-1) / φ(n) =k

即：d = (k*φ(n)+1) / e

在这里插入图片描述

RSA密钥一般是1024位（安全）

`由p,q,dp,dq,c求明文的算法`

代码如下：

import gmpy2
I = gmpy2.invert(q,p)
mp = pow(c,dp,p)
mq = pow(c,dq,q)               #求幂取模运算

m = (((mp-mq)*I)%p)*q+mq       #求明文公式

print(hex(m))          #转为十六进制