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最长递增子序列（LIS）

问题描述：

求一个序列的最长递增子序列，这样的子序列是允许中间越过一些字符的，即留“空”。

例如：4 2 3 1 5 的最长递增子序列为 2 3 5，长度为 3 。

解法：

这里给出两种动态规划的做法，第二种是比较优化的 dp 。

① dp：dp[i] 表示以 i 结尾的最长递增子序列长度。

第一个元素直接设置 LIS 长度为 1 即可。
在这里插入图片描述
处理第二个元素 2 的时候判断是否比前面的元素 4 大，没有的话那么以 2 为结尾的 LIS 就是 2，

即 LIS 长度为 1。
在这里插入图片描述
处理第三个元素 3 的时候需要跟前面的每个元素都进行比较，3 大于 2，则 LIS 的长度可能为 dp[1] + 1，

3 小于 4，则 LIS 的长度可能为 1，比较dp[1] + 1 和 1，取最大值，为 2 。

处理第四个元素 1，发现比前面的元素都小，那么以 1 为结尾的 LIS 只可能为 1，因此 LIS 的长度为 1。
在这里插入图片描述
处理最后一个元素 5，发现比前面的元素都大，那么以 5 结尾的 LIS 的长度可能为

dp[0] + 1，dp[1] + 1，dp[2] + 1，dp[3] + 1。

其中的最大值为 dp[2] + 1 = 3，因此 LIS 的长度为 3。

总结：

dp[i] 默认都为 1，因为以 i 结尾的 LIS 至少包含自己。

在 dp 表 0~i-1 中比对时，若 arr[i] > arr[j]，

那么 dp[j] + 1 可能为 dp[i] 的最终值。

需要在所有的可能值中取最大值。

时间复杂度为 O(n²)。

② dp：dp[i] 表示长度为 i 的最长递增子序列（LIS）末尾的数。

第一个元素直接加入 dp 表，dp[1] = 4，表示长度为 1 的 LIS 末尾的数当前为 4。
在这里插入图片描述
第二个元素为 2，因为 2 < 4，直接替换掉 4，dp[1] = 2 。

因为后面序列中的数字 > 2 的几率一定比 > 4 的几率高，有种贪心的感觉。

第三个元素为 3，由于 3 > dp[1] = 2，构成递增，dp[2] = 3，表示长度为 2 的 LIS 的末尾为 3 。
在这里插入图片描述
第四个元素为 1，由于 1 < dp[2] = 3，因此在前面一定有一个位置可以换成 1，

并且后面的递增性质不会被破坏。

第一个 > 1 的为 dp[1] = 2，因此将 dp[1] 置为 1。
在这里插入图片描述
最后一个元素为 5， 5 > dp[2] = 3，构成递归，故dp[3] = 5。

全部遍历完成，这个时候我们就可以发现 dp 数组的下标 3 就是我们要求的 LIS 长度。

参考代码：

// 这里的最长递增子序列是允许中间跨越其他子序列的 
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int *arr;
int *dp;

// 经典问题 dp[i]的意思为以i为结尾的最长子序列为多少 
int getResult(int n)
{ 
   
	dp[0] = 1;
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{ 
   
		int cnt = 1;
		for (int j = i - 1; j >= 0; j--)
		{ 
   
			if (arr[i] > arr[j])
			{ 
     // 保证递增 
				cnt = max(cnt, dp[j] + 1);
			}
		}
		dp[i] = cnt;
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{ 
   
		ans = max(ans, dp[i]);
	}
	return ans;
}

// 二分查找变体 找到第一个大于等于n的位置index 
int BinarySearch(int *dp, int len, int n)
{ 
   
	int left = 1;
	int right = len;
	while (left < right)
	{ 
   
		int mid = (left + right) / 2;
		if (dp[mid] >= n)
		{ 
   
			right = mid;
		}
		else
		{ 
   
			left = mid+1;
		}
	}
	return right;
}

// 优化的dp dp数组的最终下标为答案 
int getResult1(int n)
{ 
   
	 dp[1] = arr[0];
	 int index = 1;
	 for (int i = 1; i < n; i++)
	 { 
   
	 	if (arr[i] > dp[index])
	 	{ 
   
	 		// 更新index 
	 		dp[++index] = arr[i];
		 }
		 else
		 { 
   
		 	// 把dp数组中第一个大于等于n的数字替换为arr[i] 
		 	int tempIndex = BinarySearch(dp, index, arr[i]);
		 	dp[tempIndex] = arr[i];
		 }
	 }
	 return index;
} 

int main(){ 
   
	int n;
	while (cin >> n)
	{ 
   
		arr = new int[n];
		dp = new int[n+1]; 
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{ 
   
			cin >> arr[i];
		}
		int ans = getResult1(n);
		cout << ans << endl;
		delete[] arr;
		delete[] dp;
	}
	return 0;
}