大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

设：
$m, n \in \mathbb N, m, n \ge 1,$
${\mathrm{D}}_j=\frac {\partial }{\partial x_j}$
${{\mathrm{D}}_j}^n=(\frac {\partial }{\partial x_j})^n=\frac {\partial^n }{\partial x_j^n}$
${{\mathrm{D}}_i}^m {{\mathrm{D}}_j}^n=(\frac {\partial }{\partial x_i})^m (\frac {\partial }{\partial x_j})^n=\frac {\partial^{m + n}}{\partial x_i^m \partial x_j^n}$

高阶微分公式

若： $y=f(\mathbf{x}): \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R, k$ 阶可微， $n, k \in \mathbb N, n, k \ge 1,$
则：

$$\forall k \in \mathbb N, k \ge 1, {\mathrm{d}}^ky=\left [ \sum _{j=1}^{n} \left (\mathrm{d} x_j {\mathrm{D}}_{j} \right) \right ]^k y$$

证明：

$k=1$ 时显然成立。
设$k$ 时成立，
由 $\left (\sum _{j=1}^{n}x_j \right)^k=\sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots, \mathrm{n}_k \le n } \prod_{j=1}^{k} x_{\mathrm{n}_j}$ 可得：

${\mathrm{d}}^{k + 1}y=\mathrm{d} \left({\mathrm{d}}^ky \right)=\mathrm{d} \left \{ \left [ \sum _{j=1}^{n} \left (\mathrm{d} x_j {\mathrm{D}}_{j} \right) \right ]^k y \right \}=$

$=\mathrm{d} \left [ \sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots, \mathrm{n}_k \le n } \prod_{j=1}^{k} \left (\mathrm{d} x_{n_j}{\mathrm{D}}_{{n_j}} \right) y \right ]$

$=\sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots, \mathrm{n}_k \le n } \left (\prod_{j=1}^{k} \mathrm{d} x_{n_j} \right) \mathrm{d} \left (\prod_{j=1}^{k} {\mathrm{D}}_{{n_j}} \right)y$

$=\sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots, \mathrm{n}_k \le n } \left (\prod_{j=1}^{k} \mathrm{d} x_{n_j} \right) \left [ \sum_{1 \le \mathrm{n}_{k + 1} \le n} \mathrm{d} x_{\mathrm{n}_{k + 1}} {\mathrm{D}}_{{\mathrm{n}_{k + 1}}} \left (\prod_{j=1}^{k} {\mathrm{D}}_{{n_j}} \right)y \right ]$

$=\sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots, \mathrm{n}_k \le n } \left(\prod_{j=1}^{k} \mathrm{d} x_{n_j} \right) \left(\sum_{1 \le \mathrm{n}_{k + 1} \le n} \mathrm{d} x_{\mathrm{n}_{k + 1}} {\mathrm{D}}_{{\mathrm{n}_{k + 1}}} \prod_{j=1}^{k} {\mathrm{D}}_{{n_j}} y \right)$

$=\sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots , \mathrm{n}_{k + 1} \le n }\left(\prod_{j=1}^{k} \mathrm{d} x_{n_j} \right) \left(\mathrm{d} x_{\mathrm{n}_{k + 1}} {\mathrm{D}}_{{\mathrm{n}_{k + 1}}} \prod_{j=1}^{k} {\mathrm{D}}_{{n_j}} y \right)$

$=\sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots, \mathrm{n}_{k + 1} \le n } \left (\prod_{j=1}^{k + 1} \mathrm{d} x_{n_j} \right) \left(\prod_{j=1}^{k + 1} {\mathrm{D}}_{{n_j}}y \right)$

$=\sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots, \mathrm{n}_{k + 1} \le n } \prod_{j=1}^{k + 1} \left (\mathrm{d} x_{n_j} {\mathrm{D}}_{{n_j}} \right)y$

$=\left [ \sum _{j=1}^{n} \left (\mathrm{d} x_j {\mathrm{D}}_{j} \right) \right ]^{k + 1} y$

Taylor公式

设 $f(x_1, \cdots, x _n)$ 在点 $\mathbf{x}$ 的邻域 $U$ 上有 $k + 1$ 阶连续偏导数，$k \in \mathbb N, k \ge 1,$ 则： $\forall \mathbf{x}'=\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x} \in U, \exists \theta \in (0, 1),$
$\Delta y=\sum_{i=1}^{k} \dfrac{1}{i!} \left [\sum _{j=1}^{n} \left (\Delta x_j {\mathrm{D}}_{j} \right) \right ]^i f(\mathbf{x}) + \dfrac{1}{(k + 1)!} \left [ \sum _{j=1}^{n} \left (\Delta x_j {\mathrm{D}}_{j} \right) \right ]^{k + 1} f(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x})$

证明：

令 $\varphi (t)=f \left (\mathbf{x} + t \Delta \mathbf{x} \right), t \in [0, 1],$
则由数学归纳法（证明在后面）可得：
$\forall i \in \mathbb N, i \ge 1,$ 若 $f(\mathbf{x})$ 在点 $(\mathbf{x} + t \Delta \mathbf{x})$ 有 $i$ 阶连续偏导数，则：
$\varphi ^{(i)} (t)=\left [\sum _{j=1}^{n} \left (\Delta x_j {\mathrm{D}}_{j} \right) \right ]^i f \left (\mathbf{x} + t \Delta \mathbf{x} \right), \tag{*}$
于是 $\varphi (t)$ 在 $[0, 1]$ 有 $k$ 阶连续偏导数， 在 $(0, 1)$ 有 $k + 1$ 阶导数，
由 Taylor 公式， $\exists \theta \in (0, 1),$
$\Delta y=f(\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x}) - f(\mathbf{x})$
$=\varphi (1) - \varphi (0)=\sum_{i=1}^{k} \frac{ 1 }{i!} \cdot \varphi ^{(i)}(0) + \frac{ 1 }{(k + 1)!} \cdot \varphi ^{(k + 1)}(\theta)$
$\sum_{i=1}^{k} \dfrac{1}{i!} \left [\sum _{j=1}^{n} \left (\Delta x_j {\mathrm{D}}_{j} \right) \right ]^i f(\mathbf{x}) + \dfrac{1}{(k + 1)!} \left [ \sum _{j=1}^{n} \left (\Delta x_j {\mathrm{D}}_{j} \right) \right ]^{k + 1} f(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x})$

(*) 的证明：

由多元复合函数的求导法则， $i=1$ 时显然成立。
设 $i=k$ 时成立，则 $i=k + 1$ 时：
由 $\left (\sum _{j=1}^{n}x_j \right)^k=\sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots, \mathrm{n}_k \le n } \prod_{j=1}^{k} x_{\mathrm{n}_j}$ 可得：

$\varphi ^{(k + 1)} (t)=\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} (\varphi ^{(k)} (t))$

$=\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left [\sum _{j=1}^{n} \left (\Delta x_j {\mathrm{D}}_{j} \right) \right ]^k f \left (\mathbf{x} + t \Delta \mathbf{x} \right)$

$=\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left [ \sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots, \mathrm{n}_k \le n } \prod_{j=1}^{k} (\Delta x_{n_j} {\mathrm{D}}_{n_j}) f(\mathbf{x} + t \Delta \mathbf{x}) \right ]$

$=\sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots, \mathrm{n}_k \le n } \dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left [ \prod_{j=1}^{k} (\Delta x_{n_j} {\mathrm{D}}_{n_j}) f(\mathbf{x} + t \Delta \mathbf{x}) \right ]$

$=\sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots, \mathrm{n}_k \le n } \dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left [ \left(\prod_{j=1}^{k} \Delta x_{n_j} \right) \left (\prod_{j=1}^{k} {\mathrm{D}}_{n_j} \right) f \left (\mathbf{x} + t \Delta \mathbf{x} \right) \right ]$

$=\sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots, \mathrm{n}_k \le n } \left(\prod_{j=1}^{k} \Delta x_{n_j} \right) \dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left [ \prod_{j=1}^{k} {\mathrm{D}}_{n_j} f \left (\mathbf{x} + t \Delta \mathbf{x} \right) \right ]$

$=\sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots, \mathrm{n}_k \le n } \left(\prod_{j=1}^{k} \Delta x_{n_j} \right) \sum _{1 \le \mathrm{n}_{k + 1} \le n} \left(\Delta x_{n_{k + 1}} \mathrm{D}_{n_{k + 1}} \right) \left [ \prod_{j=1}^{k} {\mathrm{D}}_{n_j} f \left (\mathbf{x} + t \Delta \mathbf{x} \right) \right ]$

$=\sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots, \mathrm{n}_{k + 1} \le n } \left(\prod_{j=1}^{k} \Delta x_{n_j} \right) \Delta x_{n_{k + 1}} \mathrm{D}_{n_{k + 1}} \prod_{j=1}^{k} {\mathrm{D}}_{n_j} f \left (\mathbf{x} + t \Delta \mathbf{x} \right)$

$=\sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots, \mathrm{n}_{k + 1} \le n } \left(\prod_{j=1}^{k + 1} \Delta x_{n_j} \right) \left(\prod_{j=1}^{k + 1} {\mathrm{D}}_{n_j} \right) f \left (\mathbf{x} + t \Delta \mathbf{x} \right)$

$=\sum _{1 \le \mathrm{n}_1, \cdots, \mathrm{n}_{k + 1} \le n } \prod_{j=1}^{k + 1} \left (\Delta x_{n_j} {\mathrm{D}}_{n_j} \right) f \left (\mathbf{x} + t \Delta \mathbf{x} \right)$

$=\left [\sum _{j=1}^{n} \left (\Delta x_j {\mathrm{D}}_{j} \right) \right ]^{k + 1} f \left (\mathbf{x} + t \Delta \mathbf{x} \right)$

推论

$\mathrm{d} f(\mathbf{x}) \equiv 0 \Leftrightarrow f(\mathbf{x})$ 是常量。

证明：

1) $\Rightarrow$ : $\mathrm{d} f(\mathbf{x}) \equiv 0 \Rightarrow \dfrac {\partial } {\partial x_j} f(\mathbf{x})=0, \forall j \in \mathbb N, 1 \le j \le n,$
由Taylor公式，
$\Delta y=\left [\sum _{j=1}^{n} \left (\Delta x_j {\mathrm{D}}_{j} \right) \right ] f(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x})$
$=\sum _{j=1}^{n} \Delta x_j \dfrac {\partial } {\partial x_j} f(\mathbf{x} + \theta \Delta \mathbf{x})$
$=0$
$\Rightarrow f(\mathbf{x})$ 是常量。
2) $\Leftarrow$ : $f(\mathbf{x})$ 是常量 $\Rightarrow \mathrm{d} f(\mathbf{x}) \equiv 0$