大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

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---

目录


零、算法概述


一、插入排序


二、冒泡排序


三、选择排序


四、计数排序


五、基数排序


六、归并排序


七、快速排序


八、随机快速


九、 希尔排序


十、 堆堆排序

---

  今天的内容，将围绕这几张动图来展开。可以大致先简单看一下，这是一个归并排序的动图演示，我会对以上几个排序从 算法原理、动图详解 讲到 C语言 的 源码分析。

---

零、算法概述
  今天要讲的内容是
「 十大排序算法 」。各个排序算法中的思想都非常经典，如果能够一一消化，那么在学习算法的路上也会轻松许多。

  相信看我文章的大多数都是「 大学生 」，能上大学的都是「 精英 」，那么我们自然要「 精益求精 」，如果你还是「 大一 」，那么太好了，你拥有大把时间，没错！利用这个时间 「 学好算法 」，三年后的你自然「 不能同日而语 」。
  那么这里，我整理了「 几十个基础算法 」 的分类，有需要可以找我领取。大致一览：

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---

一、插入排序
  
「 插入排序 」 是比较好理解且编码相对简单的排序算法，虽然效率不是很高。

一、?简单释义

1、算法目的

  将原本乱序的数组变成有序，可以是 「升序」 或者 「降序」 （为了描述统一，本文一律只讨论 「 升序」 的情况）。

2、算法思想

  通过不断将当前元素 「插入」 到 「升序」 序列中，直到所有元素都执行过 「插入」 操作，则算法结束。

3、命名由来

  每次都是将元素 「插入」 到 有序 序列中，故此命名 「 插入排序 」 。

二、?核心思想

• 「迭代」：类似的事情，不停地做。
• 「比较」：关系运算符 小于等于($\le$) 的运用。
• 「移动」：原地后移元素。

三、?动图演示

1、样例

8	5	6	4	3	7	10	2

• 初始情况下的数据如 图二-1-1 所示，基本属于乱序，纯随机出来的数据。

图二-1-1

2、算法演示

• 接下来，我们来看下排序过程的动画演示。如 图二-2-1 所示：

图二-2-1

3、样例说明

图示	含义
■ 的柱形	代表尚未排好序的数
■ 的柱形	代表正在执行 比较 和 移动 的数
■ 的柱形	代表已经排好序的数
■ 的柱形	代表待执行插入的数

  我们看到，首先需要将 「第二个元素」 和 「第一个元素」 进行 「比较」，如果 前者 小于等于 后者，则将 后者 进行向后 「移动」，前者 则执行插入；
  然后，进行第二轮「比较」，即 「第三个元素」 和 「第二个元素」、「第一个元素」 进行 「比较」， 直到 「前三个元素」 保持有序 。
  最后，经过一定轮次的「比较」 和 「移动」之后，一定可以保证所有元素都是 「升序」 排列的。

四、?算法前置

1、循环的实现

• 这个算法本身需要做一些「 循环 」进行迭代计算，所以你至少需要知道「 循环 」 的含义，这里以 「 c++ 」 为例，来看下一个简单的「 循环 」是怎么写的。代码如下：

int n = 1314;
for(int i = 0; i < n; ++i) { 
   
    // TODO ： 。。。
}

• 这个语句就是一个最简单的循环语句，它会将循环体内的语句执行 $n$ 次，而这里的 $n$ 等于 $1314$，也就是会执行 $1314$ 次。

2、比较的实现

• 「比较」两个元素的大小，可以采用关系运算符，本文我们需要排序的数组是按照 「升序」 排列的，所以用到的关系运算符是 「小于等于运算符（即 <=）」 。
• 我们可以将两个数的「比较」写成一个函数smallerEqualThan，以 「 c++ 」 为例，实现如下：

#define Type int
bool smallerEqualThan(Type a, Type b) { 
   
    return a <= b;
}

• 其中Type代表数组元素的类型，可以是整数，也可以是浮点数，也可以是一个类的实例，这里我们统一用int来讲解，即 32位有符号整型。

3、移动的实现

• 所谓「移动」，其实是将某个元素执行后移，实现如下：

a[j + 1] = a[j];

五、?算法描述

1、问题描述

  给定一个 $n$ 个元素的数组，数组下标从 $0$ 开始，采用「 插入排序 」将数组按照 「升序」排列。

2、算法过程

整个算法的执行过程分以下几步：
  1） 循环迭代变量 $i=1\to n-1$；
  2） 每次迭代，令 $x=a[i]$，$j=i-1$，循环执行比较 $x$ 和 $a[j]$，如果产生 $x\le a[j]$ 则执行 $a[j+1]=a[j]$。然后执行 $j=j+1$，继续执行 2）；否则，跳出循环，回到 1）。

六、?算法分析

1、时间复杂度

• 我们假设 「比较」 和 「移动」 的时间复杂度为 $O(1)$。
• 「 插入排序 」 中有两个嵌套循环。

外循环正好运行 $n-1$ 次迭代。 但内部循环运行变得越来越短：
  当 $i=1$，内层循环 $1$ 次「比较」操作。
  当 $i=2$，内层循环 $2$ 次「比较」操作。
  当 $i=3$，内层循环 $3$ 次「比较」操作。
  ……
  当 $i=n-2$，内层循环 $n-2$ 次「比较」操作。
  当 $i=n-1$，内层循环 $n-1$ 次「比较」操作。

• 因此，总「比较」次数如下：
• $$1+2+...+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$$
• 总的时间复杂度为：$O(n^2)$

2、空间复杂度

• 由于算法在执行过程中，只有「移动」变量时候，需要事先将变量存入临时变量x，而其它没有采用任何的额外空间，所以空间复杂度为 $O(1)$。

七、?优化方案

  「 插入排序 」在众多排序算法中效率较低，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
   想象一下，当有 $n=10^5$ 个数字。 即使我们的计算机速度超快，并且可以在 1 秒内计算 $10^8$ 次操作，但冒泡排序仍需要大约一百秒才能完成。
  考虑，在进行插入操作之前，我们找位置的过程是在有序数组中找的，所以可以利用「二分查找」 来找到对应的位置。然而，执行 「 插入 」 的过程还是 $O(n)$，所以优化的也只是常数时间，最坏时间复杂度是不变的。

• 「改进思路」执行插入操作之前利用 「 插入 」 来找到需要插入的位置。

八、?源码详解

#include <stdio.h>
int a[1010];
void Input(int n, int *a) { 

for(int i = 0; i < n; ++i) { 

scanf("%d", &a[i]);
}
}
void Output(int n, int *a) { 

for(int i = 0; i < n; ++i) { 

if(i)
printf(" ");
printf("%d", a[i]);
}
puts("");
}
void InsertSort(int n, int *a) { 
       // (1)
int i, j; 
for(i = 1; i < n; ++i) { 

int x = a[i];                  // (2)
for(j = i-1; j >= 0; --j) { 
    // (3)
if(x <= a[j]) { 
            // (4)
a[j+1] = a[j];         // (5)
}else
break;                 // (6)
}
a[j+1] = x;                    // (7)
}
} 
int main() { 

int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF) { 

Input(n, a);
InsertSort(n, a);
Output(n, a);
}
return 0;
} 

• $(1)$ void InsertSort(int n, int *a)为 插入排序 的实现，代表对a[]数组进行升序排序。
• $(2)$ 此时a[i]前面的 i-1个数都认为是排好序的，令x = a[i]；
• $(3)$ 逆序的枚举所有的已经排好序的数；
• $(4)$ 如果枚举到的数a[j]比需要插入的数x大，则当前数往后挪一个位置；
• $(5)$ 执行挪位置的 $O(1)$ 操作；
• $(6)$ 否则，跳出循环；
• $(7)$ 将x插入到合适位置；

---

• 关于 「 插入排序 」 的内容到这里就结束了。

---

二、冒泡排序
  想要养成
「算法思维」，每一个简单的问题都要思考它背后的真正含义，做到 举一反三，触类旁通。

  
「 冒泡排序 」 是最好理解且编码最简单的排序算法。

一、?简单释义

1、算法目的

  将原本乱序的数组变成有序，可以是 「升序」 或者 「降序」 （为了描述统一，本文一律只讨论 「 升序」 的情况）。

2、算法思想

  通过不断比较相邻的元素，如果「左边的元素」 大于 「右边的元素」，则进行「交换」，直到所有相邻元素都保持升序，则算法结束。

3、命名由来

  数值大的元素经过交换，不断到达数组的尾部，就像气泡，逐渐浮出水面一样，故此命名 「 冒泡排序 」 。

二、?核心思想

• 「迭代」：类似的事情，不停地做。
• 「比较」：关系运算符 大于($>$) 的运用。
• 「交换」：变量或者对象的值的互换。

三、?动图演示

1、样例

8	5	6	4	3	7	10	2

• 初始情况下的数据如 图二-1-1 所示，基本属于乱序，纯随机出来的数据。

图二-1-1

2、算法演示

• 接下来，我们来看下排序过程的动画演示。如 图二-2-1 所示：

图二-2-1

3、样例说明

图示	含义
■ 的柱形	代表尚未排好序的数
■ 的柱形	代表正在执行比较的两个数
■ 的柱形	代表已经排好序的数

  我们看到，首先需要将 「第一个元素」 和 「第二个元素」 进行 「比较」，如果 前者 大于 后者，则进行 「交换」，然后再比较 「第二个元素」 和 「第三个元素」 ，以此类推，直到 「最大的那个元素」 被移动到 「最后的位置」 。
  然后，进行第二轮「比较」，直到 「次大的那个元素」 被移动到 「倒数第二的位置」 。
  最后，经过一定轮次的「比较」 和 「交换」之后，一定可以保证所有元素都是 「升序」 排列的。

四、?算法前置

1、循环的实现

• 这个算法本身需要做一些「 循环 」进行迭代计算，所以你至少需要知道「 循环 」 的含义，这里以 「 c++ 」 为例，来看下一个简单的「 循环 」是怎么写的。代码如下：

int n = 520;
for(int i = 0; i < n; ++i) { 

// 循环体
}

• 这个语句就是一个最简单的循环语句，它会将循环体内的语句执行 $n$ 次，而这里的 $n$ 等于 $520$，也就是会执行 $520$ 次。
• 具体的语法细节不是本文的主要内容，请自行学习。

2、比较的实现

• 「比较」两个元素的大小，可以采用关系运算符，本文我们需要排序的数组是按照 「升序」 排列的，所以用到的关系运算符是 「大于运算符（即 >）」 。
• 我们可以将两个数的「比较」写成一个函数isBigger，以 「 c++ 」 为例，实现如下：

#define Type int
bool isBigger(Type a, Type b) { 

return a > b;
}

• 其中Type代表数组元素的类型，可以是整数，也可以是浮点数，也可以是一个类的实例，这里我们统一用int来讲解，即 32位有符号整型。

3、交换的实现

• 所谓「交换」，就是对于两个变量，将它们的值进行互换。
• 在 「Python」 中，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。

a, b = b, a

• 在 「 c++ 」 里，这个语法是错误的。
• 我们可以这么理解，你有两个杯子 $a$ 和 $b$，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水「交换」一下，那么第一个想到的方法是什么？

当然是再找来一个临时杯子：
  1）先把 $a$ 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
  2）再把 $b$ 杯子的水倒进 $a$ 杯子里；
  3）最后把临时杯子里的水倒进 $b$ 杯子；

• 这种就是临时变量法。以 「 c++ 」 为例，实现如下：

#define Type int
void swap(Type* a, Type* b) { 

Type tmp = *a;     // 把 a 杯子的水倒进临时杯子
*a = *b;           // 把 b 杯子的水倒进 a 杯子
*b = tmp;          // 把 临时杯子 的水 倒进 b 杯子
}

• 这里*涉及到的「指针」相关知识，属于语法层面，请自行学习。

五、?算法描述

1、问题描述

  给定一个 $n$ 个元素的数组，数组下标从 $0$ 开始，采用「 冒泡排序 」将数组按照 「升序」排列。

2、算法过程

整个算法的执行过程分以下几步：
  1） 循环迭代变量 $i=0\to n-1$；
  2） 每次迭代，令 $j=i$，循环执行比较 $a[j]$ 和 $a[j+1]$，如果产生 $a[j]>a[j+1]$ 则交换两者的值。然后执行 $j=j+1$，这时候对 $j$ 进行判断，如果 $j\ge n-1$，则回到 1），否则继续执行 2）。

六、?算法分析

1、时间复杂度

• 我们假设 「比较」 和 「交换」 的时间复杂度为 $O(1)$（为什么这里说假设，因为有可能要「比较」的两个元素本身是数组，并且是不定长的，所以只有当系统内置类型，我们才能说这两个操作是 $O(1)$ 的）。
• 「 冒泡排序 」 中有两个嵌套循环。

外循环正好运行 $n-1$ 次迭代。 但内部循环运行变得越来越短：
  当 $i=0$，内层循环 $n-1$ 次「比较」操作。
  当 $i=1$，内层循环 $n-2$ 次「比较」操作。
  当 $i=2$，内层循环 $n-3$ 次「比较」操作。
  ……
  当 $i=n-2$，内层循环 $1$ 次「比较」操作。
  当 $i=n-1$，内层循环 $0$ 次「比较」操作。

• 因此，总「比较」次数如下：
• $$(n-1)+(n-2)+...+1+0=\frac{n(n-1)}{2}$$
• 总的时间复杂度为：$O(n^2)$

2、空间复杂度

• 由于算法在执行过程中，只有「交换」变量时候采用了临时变量的方式，而其它没有采用任何的额外空间，所以空间复杂度为 $O(1)$。

七、?优化方案

  「 冒泡排序 」在众多排序算法中效率较低，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
   想象一下，当有 $n=10^5$ 个数字。 即使我们的计算机速度超快，并且可以在 1 秒内计算 $10^8$ 次操作，但冒泡排序仍需要大约一百秒才能完成。
  但是，它的外层循环是可以提前终止的，例如，假设一开始所有数字都是升序的，那么在首轮「比较」的时候没有发生任何的「交换」，那么后面也就不需要继续进行 「比较」 了，直接跳出外层循环，算法提前终止。

• 「改进思路」如果我们通过内部循环完全不交换，这意味着数组已经排好序，我们可以在这个点上停止算法。

八、?源码详解

#include <stdio.h>
int a[1010];
void Input(int n, int *a) { 

for(int i = 0; i < n; ++i) { 

scanf("%d", &a[i]);
}
}
void Output(int n, int *a) { 

for(int i = 0; i < n; ++i) { 

if(i)
printf(" ");
printf("%d", a[i]);
}
puts("");
}
void Swap(int *a, int *b) { 

int tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
void BubbleSort(int n, int *a) { 
             // (1)
bool swapped;
int last = n;
do { 

swapped = false;                     // (2)
for(int i = 0; i < last - 1; ++i) { 
  // (3)
if(a[i] > a[i+1]) { 
              // (4)
Swap(&a[i], &a[i+1]);        // (5)
swapped = true;              // (6)
}
}
--last;
}while (swapped);
} 
int main() { 

int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF) { 

Input(n, a);
BubbleSort(n, a);
Output(n, a);
}
return 0;
} 

• $(1)$ void BubbleSort(int n, int *a)为冒泡排序的实现，代表对a[]数组进行升序排序。
• $(2)$ swapped标记本轮迭代下来，是否有元素产生了交换。
• $(3)$ 每次冒泡的结果，会执行last的自减，所以待排序的元素会越来越少。
• $(4)$ 如果发现两个相邻元素产生逆序，则将它们进行交换。保证右边的元素一定不比左边的小。
• $(5)$ swap实现了元素的交换，这里需要用&转换成地址作为传参。
• $(6)$ 标记更新。一旦标记更新，则代表进行了交换，所以下次迭代必须继续。

---

• 关于 「 冒泡排序 」 的内容到这里就结束了。

---

三、选择排序


  
「 选择排序 」 是比较直观且编码简单的排序算法，虽然效率不是很高，但一般也出现在各种
「数据结构」 的教科书上。

一、?简单释义

1、算法目的

  将原本乱序的数组变成有序，可以是 「升序」 或者 「降序」 （为了描述统一，本文一律只讨论 「 升序」 的情况）。

2、算法思想

  通过不断从未排序的元素中，「比较」 和 「交换」，从而 「选择」 出一个最小的， 直到最后变成一个「升序」 序列，则算法结束。

3、命名由来

  每次都是「选择」 出一个最小的元素，故此命名 「 选择排序 」 。

二、?核心思想

• 「迭代」：类似的事情，不停地做。
• 「比较」：关系运算符 小于($<$) 的运用。
• 「交换」：变量或者对象的值的互换。

三、?动图演示

1、样例

8	5	6	4	3	7	10	2

• 初始情况下的数据如 图二-1-1 所示，基本属于乱序，纯随机出来的数据。

图二-1-1

2、算法演示

• 接下来，我们来看下排序过程的动画演示。如 图二-2-1 所示：

图二-2-1

3、样例说明

图示	含义
■ 的柱形	代表尚未排好序的数
■ 的柱形	代表正在执行 比较 的数
■ 的柱形	代表已经排好序的数
■ 的柱形	有两种：1、记录最小元素 2、执行交换的元素

  我们发现，首先从 「第一个元素」 到 「最后一个元素」 中选择出一个 「最小的元素」，和 「第一个元素」 进行 「交换」；
  然后，从 「第二个元素」 到 「最后一个元素」 中选择出一个 「最小的元素」，和 「第二个元素」 进行 「交换」。
  最后，一定可以保证所有元素都是 「升序」 排列的。

四、?算法前置

1、循环的实现

• 这个算法本身需要做一些「 循环 」进行迭代计算，所以你至少需要知道「 循环 」 的含义，这里以 「 c++ 」 为例，来看下一个简单的「 循环 」是怎么写的。代码如下：

int n = 5201314;
for(int i = 0; i < n; ++i) { 

// TODO ： 。。。
}

• 这个语句就是一个最简单的循环语句，它会将循环体内的语句执行 $n$ 次，而这里的 $n$ 等于 $5201314$，也就是会执行 $5201314$ 次。

2、比较的实现

• 「比较」两个元素的大小，可以采用关系运算符，本文我们需要排序的数组是按照 「升序」 排列的，所以用到的关系运算符是 「小于运算符（即 <）」 。
• 我们可以将两个数的「比较」写成一个函数smallerThan，以 「 c++ 」 为例，实现如下：

#define Type int
bool smallerThan(Type a, Type b) { 

return a < b;
}

• 其中Type代表数组元素的类型，可以是整数，也可以是浮点数，也可以是一个类的实例，这里我们统一用int来讲解，即 32位有符号整型。

3、交换的实现

• 所谓「交换」，就是对于两个变量，将它们的值进行互换。
• 在 「Python」 中，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。

a, b = b, a

• 在 「 c++ 」 里，这个语法是错误的。
• 我们可以这么理解，你有两个杯子 $a$ 和 $b$，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水「交换」一下，那么第一个想到的方法是什么？

当然是再找来一个临时杯子：
  1）先把 $a$ 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
  2）再把 $b$ 杯子的水倒进 $a$ 杯子里；
  3）最后把临时杯子里的水倒进 $b$ 杯子；

• 这种就是临时变量法。以 「 c++ 」 为例，实现如下：

#define Type int
void swap(Type* a, Type* b) { 

Type tmp = *a;     // 把 a 杯子的水倒进临时杯子
*a = *b;           // 把 b 杯子的水倒进 a 杯子
*b = tmp;          // 把 临时杯子 的水 倒进 b 杯子
}

• 这里*涉及到的「指针」相关知识，属于语法层面，请自行学习。

五、?算法描述

1、问题描述

  给定一个 $n$ 个元素的数组，数组下标从 $0$ 开始，采用「 选择排序 」将数组按照 「升序」排列。

2、算法过程

整个算法的执行过程分以下几步：
  1） 循环迭代变量 $i=0\to n-1$；
  2） 每次迭代，令 $min=i$，$j=i+1$；
  3） 循环执行比较 $a[j]$ 和 $a[min]$，如果产生 $a[j]<a[min]$ 则执行 $min=j$。执行 $j=j+1$，继续执行这一步，直到 $j==n$；
  4） 交换 $a[i]$ 和 $a[min]$，回到 1）。

六、?算法分析

1、时间复杂度

• 我们假设 「比较」 和 「交换」 的时间复杂度为 $O(1)$。
• 「 选择排序 」 中有两个嵌套循环。

外循环正好运行 $n-1$ 次迭代。 但内部循环运行变得越来越短：
  当 $i=0$，内层循环 $n-1$ 次「比较」操作。
  当 $i=1$，内层循环 $n-2$ 次「比较」操作。
  当 $i=2$，内层循环 $n-3$ 次「比较」操作。
  ……
  当 $i=n-3$，内层循环 $2$ 次「比较」操作。
  当 $i=n-2$，内层循环 $1$ 次「比较」操作。

• 因此，总「比较」次数如下：
• $$(n-1)+...+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$$
• 总的时间复杂度为：$O(n^2)$

2、空间复杂度

• 由于算法在执行过程中，只有「选择最小元素」的时候，需要事先将最小元素的下标存入临时变量min，而其它没有采用任何的额外空间，所以空间复杂度为 $O(1)$。

七、?优化方案

  「 选择排序 」在众多排序算法中效率较低，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
   想象一下，当有 $n=10^5$ 个数字。 即使我们的计算机速度超快，并且可以在 1 秒内计算 $10^8$ 次操作，但冒泡排序仍需要大约一百秒才能完成。
  考虑一下，每一个内层循环是从一个区间中找到一个最小值，并且更新这个最小值。是一个「 动态区间最值 」问题，所以这一步，我们是可以通过「 线段树 」 来优化的。这样就能将内层循环的时间复杂度优化成 $O(lo{g}_{2}n)$ 了，总的时间复杂度就变成了 $O(nlo{g}_{2}n)$。
  由于「 线段树 」不是本文讨论的重点，有兴趣了解「 线段树 」相关内容的读者，可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（三十九）- 线段树。

八、?源码详解

#include <stdio.h>
int a[1010];
void Input(int n, int *a) { 

for(int i = 0; i < n; ++i) { 

scanf("%d", &a[i]);
}
}
void Output(int n, int *a) { 

for(int i = 0; i < n; ++i) { 

if(i)
printf(" ");
printf("%d", a[i]);
}
puts("");
}
void Swap(int *a, int *b) { 

int tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
void SelectionSort(int n, int *a) { 
  // (1)
int i, j;
for(i = 0; i < n - 1; ++i) { 
     // (2)
int min = i;                 // (3)
for(j = i+1; j < n; ++j) { 
   // (4)
if(a[j] < a[min]) { 

min = j;             // (5)
}
}
Swap(&a[i], &a[min]);        // (6) 
}
}
int main() { 

int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF) { 

Input(n, a);
SelectionSort(n, a);
Output(n, a);
}
return 0;
} 

• $(1)$ void SelectionSort(int n, int *a)为选择排序的实现，代表对a[]数组进行升序排序。
• $(2)$ 从首元素个元素开始进行 $n-1$ 次跌迭代。
• $(3)$ 首先，记录min代表当前第 $i$ 轮迭代的最小元素的下标为 $i$。
• $(4)$ 然后，迭代枚举第 $i+1$ 个元素到 最后的元素。
• $(5)$ 选择一个最小的元素，并且存储下标到min中。
• $(6)$ 将 第 $i$ 个元素 和 最小的元素 进行交换。

---

• 关于 「 选择排序 」 的内容到这里就结束了。

---

四、计数排序
  
「 计数排序 」 是比较好理解且编码相对简单的排序算法，可以说是效率最高的排序算法之一，但是也有
「 局限性 」，这个后面我会讲。

一、?简单释义

1、算法目的

  将原本乱序的数组变成有序，可以是 「升序」 或者 「降序」 （为了描述统一，本文一律只讨论 「 升序」 的情况）。

2、算法思想

  首先，准备一个 「 计数器数组 」，通过一次 「 枚举 」，对所有「 原数组 」元素进行计数。
  然后，「 从小到大 」枚举所有数，按照 「 计数器数组 」 内的个数，将枚举到的数放回 「 原数组 」。执行完毕以后，所有元素必定按照 「升序」 排列。

3、命名由来

  整个过程的核心，就是在 「计算某个数的数量」，故此命名 「 计数排序 」 。

二、?核心思想

• 「枚举」：穷举所有情况。
• 「哈希」：将一个数字映射到一个数组中。
• 「计数」：一次计数就是一次自增操作。

三、?动图演示

1、样例

2	3	1	3	2	1	4	2	4	6	2

• 初始情况下的数据如 图二-1-1 所示，基本属于乱序，纯随机出来的数据。

图二-1-1

2、算法演示

• 接下来，我们来看下排序过程的动画演示。如 图二-2-1 所示：

图二-2-1

3、样例说明

图示	含义
■ 的柱形	计数为 0 的数
■ 的柱形	计数为 1 的数
■ 的柱形	计数为 2 的数
■ 的柱形	计数为 3 的数
■ 的柱形	计数为 4 的数

  我们看到，首先程序生成了一个区间范围为 $[1,9]$ 的 「 计数器数组 」，并且一开始所有值的计数都为 0。
  然后，遍历枚举「 原数组 」的所有元素，在 元素值 对应的计数器上执行 「 计数 」 操作。
  最后，遍历枚举「 计数器数组 」，按照数组中元素个数放回到 「 原数组 」 中。这样，一定可以保证所有元素都是 「升序」 排列的。

四、?算法前置

1、循环的实现

• 这个算法本身需要做一些「 循环 」进行枚举计算，所以你至少需要知道「 循环 」 的含义，这里以 「 c++ 」 为例，来看下一个简单的「 循环 」是怎么写的。代码如下：

int n = 111;
for(int i = 0; i < n; ++i) { 

// TODO ： 。。。
}

• 这个语句就是一个最简单的循环语句，它会将循环体内的语句执行 $n$ 次，而这里的 $n$ 等于 $111$，也就是会执行 $111$ 次。
• 「 循环 」 是计算机完成 「 枚举 」 和 「 迭代 」 的基础操作。

2、哈希的实现

• 「 哈希 」就是将一个数字「 映射 」到一个「 数组 」中，然后通过数组的 「 取下标 」 这一步来完成 $O(1)$ 的 「 查询 」 操作 。
• 所有 「 计数排序 」 对待排序数组中的元素，是有范围要求的，它的值不能超过数组本身的大小，这就是上文提到的 「 局限性 」。
• 如下代码所示，代表的是把 数字5 「 哈希 」到cnt数组的第 6（C语言中下标从 0 开始） 个槽位中，并且将值置为 1。

cnt[5] = 1;

• 有关「 哈希 」的更多内容，可以参考：夜深人静写算法（九）- 哈希表。

3、计数的实现

• 「 计数 」 就比较简单了，直接对「 哈希 」的位置执行自增操作即可，如下：

++cnt[5];

五、?算法描述

1、问题描述

  给定一个 $n$ 个元素的整型数组，数组下标从 $0$ 开始，且数组元素范围为 $[1,10^5]$，采用「 计数排序 」将数组按照 「升序」排列。

2、算法过程

整个算法的执行过程分以下几步：
  1） 初始化计数器数组cnt[i] = 0，其中 $i\in [1,10^5]$；
  2） 令 $i=0\to n-1$，循环执行计数器数组的自增操作 ++cnt[a[i]]；
  3） 令 $i=1\to 100000$，检测cnt[i]的值，如果非零，则将cnt[i]个i的值依次放入原数组a[]中。

---

六、?算法分析

1、时间复杂度

• 我们假设一次 「 哈希 」 和 「 计数 」 的时间复杂度均为 $O(1)$。并且总共 $n$ 个数，数字范围为 $1\to k$。

除了输入输出以外，「 计数排序 」 中总共有四个循环。
   第一个循环，用于初始化 「 计数器数组 」，时间复杂度 $O(k)$；
   第二个循环，枚举所有数字，执行「 哈希 」 和 「 计数 」 操作，时间复杂度 $O(n)$；
   第三个循环，枚举所有范围内的数字，时间复杂度 $O(k)$；
  第四个循环，是嵌套在第三个循环内的，最多走 $O(n)$，虽然是嵌套，但是它可第三个循环是相加的关系，而并非相乘的关系。

• 所以，总的时间复杂度为：$O(n+k)$

2、空间复杂度

• 假设最大的数字为 $k$，则空间复杂度为 $O(k)$。

七、?优化方案

  「 计数排序 」在众多排序算法中效率最高，时间复杂度为 $O(n+k)$ 。
   但是，它的缺陷就是非常依赖它的数据范围。必须为整数，且限定在 $[1,k]$ 范围内，所以由于内存限制，$k$ 就不能过大，优化点都是常数优化了，主要有两个：
  (1) 初始化 「 计数器数组 」 可以采用系统函数memset，纯内存操作，由于循环；
  (2) 上文提到的第三个循环，当排序元素达到 $n$ 个时，可以提前结束，跳出循环。

八、?源码详解

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define maxn 1000001
#define maxk 100001
int a[maxn];
int cnt[maxk]; 
void Input(int n, int *a) { 

for(int i = 0; i < n; ++i) { 

scanf("%d", &a[i]);
}
}
void Output(int n, int *a) { 

for(int i = 0; i < n; ++i) { 

if(i)
printf(" ");
printf("%d", a[i]);
}
puts("");
}
void CountingSort(int n, int *a) { 
       // (1)
int i, top; 
memset(cnt, 0, sizeof(cnt));         // (2) 
for(i = 0; i < n; ++i) { 
             // (3)
++cnt[ a[i] ];                   // (4)
}
top = 0;                             // (5)
for(i = 0; i < maxk; ++i) { 

while(cnt[i]) { 
                  // (6)
a[top++] = i;                // (7)
--cnt[i];                    // (8)
}
if(top == n) { 
                   // (9)
break;
}
}
} 
int main() { 

int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF) { 

Input(n, a);
CountingSort(n, a);
Output(n, a);
}
return 0;
} 

• $(1)$ void CountingSort(int n, int *a)为 计数排序 的实现，代表对a[]数组进行升序排序。
• $(2)$ 利用memset初始化 计数器数组 cnt；
• $(3)$ 遍历原数组中的每个元素；
• $(4)$ 相应数 的 计数器 增加1；
• $(5)$ 栈顶指针指向空栈；
• $(6)$ 如果 $i$ 这个数的计数 $cnt[i]$ 为零，则结束循环，否则进入 $(7)$；
• $(7)$ 将 $i$ 放入原数组；
• $(8)$ 计数器减一；
• $(9)$ 当原数组个数 等于 $n$ 跳出循环。

---

• 关于 「 计数排序 」 的内容到这里就结束了。

---

五、基数排序
  
「 基数排序 」 很好的弥补了
「 计数排序 」 中待排序的数据范围过大的问题，它适合
「 范围大 」 且
「 数位少 」 的整数的排序。它将所有的整数认为是一个字符串，从最低有效位（最右边的）到 最高有效位（最左边的）开始迭代。

一、?简单释义

1、算法目的

  将原本乱序的数组变成有序，可以是 「升序」 或者 「降序」 （为了描述统一，本文一律只讨论 「 升序」 的情况）。

2、算法思想

  首先，准备 10 个队列，进行若干次「 迭代 」。每次「 迭代 」，先清空队列，然后取每个待排序数的对应十进制位，通过「 哈希 」，映射到它「 对应的队列 」中，然后将所有数字「 按照队列顺序 」塞回「 原数组 」完成一次「 迭代 」。
  可以认为类似「 关键字排序 」，先对「 第一关键字 」进行排序，再对「 第二关键字 」排序，以此类推，直到所有关键字都有序为止。

二、?核心思想

• 「迭代」：类似的事情，不停地做。
• 「哈希」：将一个数字映射到一个数组中。
• 「队列」：一种「 先进先出 」的数据结构。

三、?动图演示

1、样例

3121	897	3122	3	23	5	55	7	97	123	456	1327

• 初始情况下的数据如 图二-1-1 所示，基本属于乱序，纯随机出来的数据。

图二-1-1

2、算法演示

• 接下来，我们来看下排序过程的动画演示。如 图二-2-1 所示：

图二-2-1

3、样例说明

• 上图中 「 红色的数字位 」 代表需要进行 「 哈希 」 映射到给定 「 队列 」 中的数字位。

  我们看到，首先程序生成了一个区间范围为 $[0,9]$ 的 「 基数队列 」。
  然后，总共进行了 4 轮「 迭代 」（因为最大的数总共 4 个数位）。
  每次迭代，遍历枚举 「 原数组 」 中的所有数，并且取得本次迭代对应位的数字，通过「 哈希 」，映射到它「 对应的队列 」中 。然后将 「 队列 」 中的数据按顺序塞回 「 原数组 」 完成一次「 迭代 」，4 次「 迭代 」后，一定可以保证所有元素都是 「升序」 排列的。

四、?算法前置

1、循环的实现

• 这个算法本身需要做一些「 循环 」进行枚举计算，所以你至少需要知道「 循环 」 的含义，这里以 「 c++ 」 为例，来看下一个简单的「 循环 」是怎么写的。代码如下：

int n = 128;
for(int i = 0; i < n; ++i) { 

// TODO ： 。。。
}

• 这个语句就是一个最简单的循环语句，它会将循环体内的语句执行 $n$ 次，而这里的 $n$ 等于 $128$，也就是会执行 $128$ 次。
• 「 循环 」 是计算机完成 「 枚举 」 和 「 迭代 」 的基础操作。

2、哈希的实现

• 「 哈希 」就是将一个数字「 映射 」到一个「 数组 」中，然后通过数组的 「 取下标 」 这一步来完成 $O(1)$ 的 「 查询 」 操作 。
• 所有 「 计数排序 」 对待排序数组中的元素，是有范围要求的，它的值不能超过数组本身的大小，这就是上文提到的 「 局限性 」。
• 如下代码所示，代表的是把 数字5 「 哈希 」到cnt数组的第 6（C语言中下标从 0 开始） 个槽位中，并且将值置为 1。

cnt[5] = 1;

• 有关「 哈希 」的更多内容，可以参考：夜深人静写算法（九）- 哈希表。

3、队列的实现

• 队列是一种 「 先进先出 」 的数据结构。本文会采用数字来实现。下文会有讲到，如果有兴趣了解更多内容，可以参考这篇文章：详解队列。

4、十进制位数计算

• 在进行排序过程中，我们需要取得一个数字 $v$ 的十进制的第 $k$ 位的值。如下
• $$v=a_{p}10^p+a_{p-1}10^{p-1}...+a_{k}10^k+...+a_{1}10^1+a_{0}10^0$$
• 我们要得到的就是 $a_k$。
• 可以将 $v$ 直接除上 $10^k$ 再模上 10，即 $\frac{v}{10^k}mod10$。
• 正确性显而易见，比 $10^k$ 高的位，除完 $10^k$ 以后必然是 $10$ 的倍数，所以模 $10$ 以后答案为 $0$，不会产生贡献；比 $10^k$ 低的位，除完 $10^k$ 以后本身就已经变成了 $0$，更加不会产生贡献，所以剩下的只有 $10^k$ 的系数，即 $a_k$。

五、?算法描述

1、问题描述

  给定一个 $n$ 个元素的整型数组，数组下标从 $0$ 开始，且数组元素范围为 $[1,10^8)$，采用「 基数排序 」将数组按照 「升序」排列。

2、算法过程

整个算法的执行过程分以下几步：
  1） 定好进制，一般为 $10$，然后预处理 $10$ 的幂，存储在数组中，PowOfBase[i]代表 $10^i$；
  2） 由于数据范围为 $[1,99999999]$，即 $8$ 个 $9$，最多 $8$ 位，所以可以令 $pos=0\to 7$，执行下一步；
  3） 初始化 $[0,9]$ 队列，对 $n$ 个数字取 $pos$ 位，放入对应的队列中；
  4） 从第 $0$ 个队列到 第 $9$ 个队列，将所有数字按照顺序取出来，放回原数组，然后 $pos=pos+1$，回到 3） 继续迭代；

---

六、?算法分析

1、时间复杂度

• 我们假设一次 「 哈希 」 以及 「 入队 」、「 出队 」 的时间复杂度均为 $O(1)$。并且总共 $n$ 个数，数字位数为 $1\to k$。

除了输入输出以外，「 基数排序 」 中总共有 $k$ 轮 「 迭代 」。
   每一轮「 迭代 」，都需要遍历数组中的所有数，进行 「 入队 」 操作，时间复杂度 $O(n)$。所有数都 「 入队 」 完毕以后，需要将所有队列中的数塞回 「 原数组 」 ，时间复杂度也是 $O(n)$。

• 所以，总的时间复杂度为：$O(nk)$

2、空间复杂度

• 空间复杂度需要看 「 队列 」 的实现方式，如果采用静态数组，那么总共的队列个数为 $b$ 个（这里 $b=10$），每个队列最多元素为 $n$，则空间复杂度为 $O(nb)$，牛逼啊！
• 如果利用 $STL$ 的队列动态分配内存，则可以达到 $O(n)$ 。

七、?优化方案

  「 基数排序 」 的时间复杂度为 $O(nk)$ 。
   其中 $k$ 代表数字位的个数，所以比较依赖数据，如果最大的那个数的位数小，某次迭代下来，所有的数都已经放在一个队列中了，那就没必要继续迭代了。这里可以进行一波常数优化。

八、?源码详解

#include <stdio.h>
#include <string.h>
const int MAXN = 100005;          // (1) 
const int MAXT = 8;               // (2) 
const int BASE = 10;              // (3) 
int PowOfBase[MAXT];              // (4) 
int RadixBucket[BASE][MAXN];      // (5) 
int RadixBucketTop[BASE];         // (6) 
void InitPowOfBase() { 

int i;
PowOfBase[0] = 1;
for(i = 1; i < MAXT; ++i) { 

PowOfBase[i] = PowOfBase[i-1] * BASE;   // (7)
}
}
void Input(int n, int *a) { 

int i;
for(i = 0; i < n; ++i) { 

scanf("%d", &a[i]);
}
}
void Output(int n, int *a) { 

int i; 
for(i = 0; i < n; ++i) { 

if(i)
printf(" ");
printf("%d", a[i]);
}
puts("");
}
int getRadix(int value, int pos) { 

return value / PowOfBase[pos] % BASE;        // (8)
}
void RadixSort(int n, int *a) { 
                  // (9)
int i, j, top = 0, pos = 0;
while (pos < MAXT) { 
                         // (10)
memset(RadixBucketTop, 0, sizeof(RadixBucketTop));      // (11)
for(i = 0; i < n; ++i) { 

int rdx = getRadix(a[i], pos);
RadixBucket[ rdx ][ RadixBucketTop[rdx]++ ] = a[i]; // (12)
}
top = 0;
for(i = 0; i < BASE; ++i) { 

for(j = 0; j < RadixBucketTop[i]; ++j) { 

a[top++] = RadixBucket[i][j];                   // (13)
}
}
++pos; 
}
}
int a[MAXN];
int main() { 

int n;
InitPowOfBase();
while(scanf("%d", &n) != EOF) { 

Input(n, a);
RadixSort(n, a);
Output(n, a);
}
return 0;
} 
/* 15 3221 1 10 9680 577 9420 7 5622 4793 2030 3138 82 2599 743 4127 */

• $(1)$ 排序数组的元素最大个数；
• $(2)$ 排序元素的数字的最大位数；
• $(3)$ 排序元素的进制，这里为 十进制；
• $(4)$ PowOfBase[i]代表BASE的i次幂；
• $(5)$ RadixBucket[i][]代表第 $i$ 个队列；
• $(6)$ RadixBucketTop[i]代表第 $i$ 个队列的尾指针；
• $(7)$ 初始化BASE的i次幂；
• $(8)$ 计算value的pos位的值；
• $(9)$ void RadixSort(int n, int *a)为 基数排序 的实现，代表对a[]数组进行升序排序；
• $(10)$ 进行MAXT轮迭代；
• $(11)$ 迭代前清空队列，只需要将队列尾指针置零即可；
• $(12)$ 入队操作；
• $(13)$ 将队列中的元素按顺序塞回原数组；

---

• 关于 「 基数排序 」 的内容到这里就结束了。

---

六、归并排序
  
「 归并排序 」 是利用了
「分而治之 」 的思想，进行递归计算的排序算法，效率在众多排序算法中的佼佼者，一般也会出现在各种
「数据结构」 的教科书上。

一、?简单释义

1、算法目的

  将原本乱序的数组变成有序，可以是 「升序」 或者 「降序」 （为了描述统一，本文一律只讨论 「 升序」 的情况）。

2、算法思想

  通过将当前乱序数组分成长度近似的两份，分别进行「 递归 」 调用，然后再对这两个排好序的数组，利用两个指针，将数据元素依次比较，选择相对较小的元素存到一个「 辅助数组 」中，再将「 辅助数组 」中的数据存回「 原数组 」。

3、命名由来

  每次都是将数列分成两份，分别排序后再进行 「 归并 」，故此命名 「 归并排序 」 。

二、?核心思想

• 「递归」：函数通过改变参数，自己调用自己。
• 「比较」：关系运算符 小于($<$) 的运用。
• 「归并」：两个数组合并成一个数组的过程。

三、?动图演示

1、样例

8	5	6	4	3	7	10	2

• 初始情况下的数据如 图二-1-1 所示，基本属于乱序，纯随机出来的数据。

图二-1-1

2、算法演示

• 接下来，我们来看下排序过程的动画演示。如 图二-2-1 所示：

图二-2-1

3、样例说明

图示	含义
■ 的柱形	代表尚未排好序的数
■ 的柱形	代表已经排好序的数
其他颜色 ■ 的柱形	正在递归、归并中的数

  我们发现，首先将 「 8个元素 」 分成 「 4个元素 」，再将 「 4个元素 」 分成 「 2个元素 」，然后 「比较」这「 2个元素 」的值，使其在自己的原地数组内有序，然后两个 「 2个元素 」 的数组归并变成 「 4个元素 」 的 「升序」数组，再将两个「 4个元素 」 的数组归并变成 「 8个元素 」 的 「升序」数组。

四、?算法前置

1、递归的实现

• 这个算法本身需要做一些「 递归 」计算，所以你至少需要知道「 递归 」 的含义，这里以 「 C语言 」 为例，来看下一个简单的「 递归 」是怎么写的。代码如下：

int sum(int n) { 

if(n <= 0) { 

return 0;
} 
return sum(n - 1) + n;
}

• 这就是一个经典的递归函数，求的是从 $1$ 到 $n$ 的和，那么我们把它想象成 $1$ 到 $n-1$ 的和再加 $n$，而 $1$ 到 $n-1$ 的和为sum(n-1)，所以整个函数体就是两者之和，这里sum(n)调用sum(n-1)的过程就被称为「 递归 」。

2、比较的实现

• 「比较」两个元素的大小，可以采用关系运算符，本文我们需要排序的数组是按照 「升序」 排列的，所以用到的关系运算符是 「小于运算符（即 <）」 。
• 我们可以将两个数的「比较」写成一个函数smallerThan，以 「 C语言 」 为例，实现如下：

#define Type int
bool smallerThan(Type a, Type b) { 

return a < b;
}

• 其中Type代表数组元素的类型，可以是整数，也可以是浮点数，也可以是一个类的实例，这里我们统一用int来讲解，即 32位有符号整型。

3、归并的实现

• 所谓「归并」，就是将两个有序数组合成一个有序数组的过程。
• 如下图所示：「 红色数组 」 和 「 黄色数组 」 各自有序，然后通过一个额外的数组，「归并」 计算后得到一个有序的数组。

五、?算法描述

1、问题描述

  给定一个 $n$ 个元素的数组，数组下标从 $0$ 开始，采用「 归并排序 」将数组按照 「升序」排列。

2、算法过程

  整个算法的执行过程用 mergeSort(a[], l, r)描述，代表 当前待排序数组 $a$，左区间下标 $l$，右区间下标 $r$，分以下几步：
  1） 计算中点 $mid=\frac{l+r}{2}$；
  2） 递归调用mergeSort(a[], l, mid)和mergeSort(a[], mid+1, r)；
  3） 将 2）中两个有序数组进行有序合并，再存储到a[l:r]；
  4） 调用时，调用 mergeSort(a[], 0, n-1)就能得到整个数组的排序结果。

  「 递归 」是自顶向下的，实际上程序真正运行过程是自底向上「 回溯 」的过程：给定一个 $n$ 个元素的数组，「 归并排序 」 将执行如下几步：
  1）将每对单个元素归并为 2个元素 的有序数组；
  2）将 2个元素 的每对有序数组归并成 4个元素 的有序数组，重复这个过程…；
  3）最后一步：归并 2 个 $n/2$ 个元素的排序数组（为了简化讨论，假设 $n$ 是偶数）以获得完全排序的 $n$ 个元素数组。

六、?算法分析

1、时间复杂度

• 我们假设 「比较」 和 「赋值」 的时间复杂度为 $O(1)$。
• 我们首先讨论「 归并排序 」算法的最重要的子程序：$O(n)$ 归并，然后解析这个归并排序算法。
• 给定两个大小为 $n_1$ 和 $n_2$ 的排序数组 $A$ 和 $B$，我们可以在 $O(n)$ 时间内将它们有效地归并成一个大小为 $n=n_1+n_2$ 的组合排序数组。可以通过简单地比较两个数组的前面并始终取两个中较小的一个来实现的。
• 问题是这个归并过程被调用了多少次？
• 由于每次都是对半切，所以整个归并过程类似于一颗二叉树的构建过程，次数就是二叉树的高度，即 $lo{g}_{2}n$，所以归并排序的时间复杂度为 $O(nlo{g}_{2}n)$。

2、空间复杂度

• 由于归并排序在归并过程中需要额外的一个「 辅助数组 」，并且最大长度为原数组长度，所以「 归并排序 」的空间复杂度为 $O(n)$。

七、?优化方案

  「 归并排序 」在众多排序算法中效率较高，时间复杂度为 $O(nlo{g}_{2}n)$ 。
   但是，由于归并排序在归并过程中需要额外的一个「 辅助数组 」，所以申请「 辅助数组 」内存空间带来的时间消耗会比较大，比较好的做法是，实现用一个和给定元素个数一样大的数组，作为函数传参传进去，所有的 「 辅助数组 」 干的事情，都可以在这个传参进去的数组上进行操作，这样就免去了内存的频繁申请和释放。

八、?源码详解

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#define maxn 1000001
int a[maxn];
void Input(int n, int *a) { 

for(int i = 0; i < n; ++i) { 

scanf("%d", &a[i]);
}
}
void Output(int n, int *a) { 

for(int i = 0; i < n; ++i) { 

if(i)
printf(" ");
printf("%d", a[i]);
}
puts("");
}
void MergeSort(int *nums, int l, int r) { 

int i, mid, p, lp, rp;
int *tmp = (int *)malloc( (r-l+1) * sizeof(int) );    // (1) 
if(l >= r) { 

return ;                                          // (2) 
}
mid = (l + r) >> 1;                                   // (3) 
MergeSort(nums, l, mid);                              // (4) 
MergeSort(nums, mid+1, r);                            // (5) 
p = 0;                                                // (6) 
lp = l, rp = mid+1;                                   // (7) 
while(lp <= mid || rp <= r) { 
                         // (8) 
if(lp > mid) { 

tmp[p++] = nums[rp++];                        // (9) 
}else if(rp > r) { 

tmp[p++] = nums[lp++];                        // (10) 
}else { 

if(nums[lp] <= nums[rp]) { 
                    // (11) 
tmp[p++] = nums[lp++];
}else { 

tmp[p++] = nums[rp++];
}
}
}
for(i = 0; i < r-l+1; ++i) { 

nums[l+i] = tmp[i];                               // (12) 
} 
free(tmp);                                            // (13) 
}
int main() { 

int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF) { 

Input(n, a);
MergeSort(a, 0, n-1);
Output(n, a);
}
return 0;
} 

• $(1)$ 申请一个辅助数组，用于对原数组进行归并计算；
• $(2)$ 只有一个元素，或者没有元素的情况，则不需要排序；
• $(3)$ 将数组分为 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$ 两部分；
• $(4)$ 递归排序 $[l,mid]$ 部分；
• $(5)$ 递归排序 $[mid+1,r]$ 部分；
• $(6)$ 将需要排序的数组缓存到tmp中，用p作为游标；
• $(7)$ 初始化两个数组的指针；
• $(8)$ 当两个指针都没有到结尾，则继续迭代；
• $(9)$ 只剩下右边的数组，直接排；
• $(10)$ 只剩下走右边的数组，直接排；
• $(11)$ 取小的那个先进tmp数组；
• $(12)$ 别忘了将排序好的数据拷贝回原数组；
• $(13)$ 别忘了释放临时数据，否则就内存泄漏了！！！

---

• 关于 「 归并排序 」 的内容到这里就结束了。

---

七、快速排序
  
「 快速排序 」 是利用了
「分而治之 」 的思想，进行递归计算的排序算法，效率在众多排序算法中的佼佼者。

一、?简单释义

1、算法目的

  将原本乱序的数组变成有序，可以是 「升序」 或者 「降序」 （为了描述统一，本文一律只讨论 「 升序」 的情况）。

2、算法思想

  随机找到一个位置，将比它小的数都放到它 「 左边 」，比它大的数都放到它「 右边 」，然后分别「 递归 」求解 「 左边 」和「 右边 」使得两边分别有序。

3、命名由来

  由于排序速度较快，故此命名 「 快速排序 」 。

二、?核心思想

• 「递归」：函数通过改变参数，自己调用自己。
• 「比较」：关系运算符 小于($<$) 的运用。
• 「分治」：意为分而治之，先分，再治。将问题拆分成两个小问题，分别去解决。

三、?动图演示

1、样例

8	5	6	4	3	7	10	2

• 初始情况下的数据如 图二-1-1 所示，基本属于乱序，纯随机出来的数据。

图二-1-1

2、算法演示

• 接下来，我们来看下排序过程的动画演示。如 图二-2-1 所示：

图二-2-1

3、样例说明

图示	含义
■ 的柱形	代表尚未排好序的数
■ 的柱形	代表随机选定的基准数
■ 的柱形	代表已经排序好的数
■ 的柱形	代表正在遍历比较的数
■ 的柱形	代表比基准数小的数
■ 的柱形	代表比基准数大的数

  我们发现，首先随机选择了一个 7 作为「 基准数 」，并且将它和最左边的数交换。然后往后依次遍历判断，小于 7 的数为 「 绿色 」 ，大于 7 的数为「 紫色 」，遍历完毕以后，将 7 和 「 下标最大的那个比 7 小的数 」交换位置，至此，7的左边位置上的数都小于它，右边位置上的数都大于它，左边和右边的数继续递归求解即可。

四、?算法前置

1、递归的实现

• 这个算法本身需要做一些「 递归 」计算，所以你至少需要知道「 递归 」 的含义，这里以 「 C语言 」 为例，来看下一个简单的「 递归 」是怎么写的。代码如下：

int sum(int n) { 

if(n <= 0) { 

return 0;
} 
return sum(n - 1) + n;
}

• 这就是一个经典的递归函数，求的是从 $1$ 到 $n$ 的和，那么我们把它想象成 $1$ 到 $n-1$ 的和再加 $n$，而 $1$ 到 $n-1$ 的和为sum(n-1)，所以整个函数体就是两者之和，这里sum(n)调用sum(n-1)的过程就被称为「 递归 」。

2、比较的实现

• 「比较」两个元素的大小，可以采用关系运算符，本文我们需要排序的数组是按照 「升序」 排列的，所以用到的关系运算符是 「小于运算符（即 <）」 。
• 我们可以将两个数的「比较」写成一个函数smallerThan，以 「 C语言 」 为例，实现如下：

#define Type int
bool smallerThan(Type a, Type b) { 

return a < b;
}

• 其中Type代表数组元素的类型，可以是整数，也可以是浮点数，也可以是一个类的实例，这里我们统一用int来讲解，即 32位有符号整型。

3、分治的实现

• 所谓「分治」，就是把一个复杂的问题分成两个（或更多的相同或相似的）「 子问题 」，再把子问题分成更小的「 子问题 」……，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即「 子问题 」的解的合并。
• 对于 「 快速排序 」 来说，我们选择一个基准数，将小于它的数都放到左边，大于它的数都放到它的右边，这个过程其实就是天然隔离了 左边的数 和 右边的数，使得两边的数 “分开”，这样就可以分开治理了。如下图所示：

五、?算法描述

1、问题描述

  给定一个 $n$ 个元素的数组，数组下标从 $0$ 开始，采用「 快速排序 」将数组按照 「升序」排列。

2、算法过程

  整个算法的执行过程用 quickSort(a[], l, r)描述，代表 当前待排序数组 $a$，左区间下标 $l$，右区间下标 $r$，分以下几步：
  1） 随机生成基准点 $pivox=Partition(l,r)$；
  2） 递归调用quickSort(a[], l, pivox - 1)和quickSort(a[], pivox +1, r)；
  3） Partition(l, r)返回一个基准点，并且保证基准点左边的数都比它小，右边的数都比它大；Partition(l, r)称为分区。

六、?算法分析

1、时间复杂度

• 首先，我们分析跑一次分区的成本。
• 在实现分区Partition(l, r)中，只有一个 for循环遍历 $(r-l)$ 次。 由于 $r$ 可以和 $n-1$ 一样大，$i$ 可以低至 $0$，所以分区的时间复杂度是 $O(n)$。
• 类似于归并排序分析，快速排序的时间复杂度取决于分区被调用的次数。
• 当数组已经按照升序排列时，快速排序将达到最坏时间复杂度。总共 $n$ 次 分区，分区的时间计算如下：$$(n-1)+...+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$$
• 总的时间复杂度为：$O(n^2)$
• 当分区总是将数组分成两个相等的一半时，就会发生快速排序的最佳情况，如归并排序。当发生这种情况时，递归的深度只有 $O(lo{g}_{2}n)$。总的时间复杂度为 $O(nlo{g}_{2}n)$。

2、空间复杂度

• 由于归并排序在归并过程中需要额外的一个「 辅助数组 」，并且最大长度为原数组长度，所以「 归并排序 」的空间复杂度为 $O(n)$。

七、?优化方案

  「 快速排序 」在众多排序算法中效率较高，平均时间复杂度为 $O(nlo{g}_{2}n)$。但当完全有序时，最坏时间复杂度达到最坏情况 $O(n^2)$。
   所以每次在选择基准数的时候，我们可以尝试用随机的方式选取，这就是 「 随机快速排序 」。
  想象一下在随机化版本的快速排序中，随机化数据透视选择，我们不会总是得到 $0$，$1$ 和 $n-1$ 这种非常差的分割。所以不会出现上文提到的问题。

八、?源码详解

1、快速排序实现1

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#define maxn 1000001
int a[maxn];
void Input(int n, int *a) { 

for(int i = 0; i < n; ++i) { 

scanf("%d", &a[i]);
}
}
void Output(int n, int *a) { 

for(int i = 0; i < n; ++i) { 

if(i)
printf(" ");
printf("%d", a[i]);
}
puts("");
}
void Swap(int *a, int *b) { 

int tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
int Partition(int a[], int l, int r){ 

int i, j, pivox; 
int idx = l + rand() % (r - l + 1);        // (1) 
pivox = a[idx];                            // (2) 
Swap(&a[l], &a[idx]);                      // (3) 
i = j = l + 1;                             // (4) 
// 
while( i <= r ) { 
                          // (5) 
if(a[i] < pivox) { 
                     // (6) 
Swap(&a[i], &a[j]);                
++j;                               
}
++i;                                   // (7) 
}
Swap(&a[l], &a[j-1]);                      // (8) 
return j-1;
}
//递归进行划分
void QuickSort(int a[], int l, int r){ 

if(l < r){ 

int mid = Partition(a, l, r);
QuickSort(a, l, mid-1);
QuickSort(a, mid+1, r);
}
}
int main() { 

int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF) { 

Input(n, a);
QuickSort(a, 0, n-1);
Output(n, a);
}
return 0;
} 

• $(1)$ 随机选择一个基准；
• $(2)$ pivox 代表基准值；
• $(3)$ 将基准和最左边的值交换；
• $(4)$ $i$ 和 $j$ 是两个同步指针，都从 $l+1$ 开始；$j-1$ 以后的数都是大于等于 基准值 的；
• $(5)$ 开始遍历整个排序区间，$i$ 一定比 $j$ 走的快，当 $i$ 到达最右边的位置时，遍历结束；
• $(6)$ 如果比基准值小的，交换 $a[i]$ 和 $a[j]$，并且自增 $j$ ；
• $(7)$ 每次遍历 $i$ 都需要自增；
• $(8)$ 第 $j$ 个元素以后都是不比基准值小的元素 ；

2、快速排序实现2

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#define maxn 1000001
int a[maxn];
void Input(int n, int *a) { 

for(int i = 0; i < n; ++i) { 

scanf("%d", &a[i]);
}
}
void Output(int n, int *a) { 

for(int i = 0; i < n; ++i) { 

if(i)
printf(" ");
printf("%d", a[i]);
}
puts("");
}
void Swap(int *a, int *b) { 

int tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
int Partition(int a[], int l, int r){ 

int i, j; 
int idx = l + rand() % (r - l + 1);        // (1) 
Swap(&a[l], &a[idx]);                      // (2) 
i = l, j = r;                              // (3) 
int x = a[i];                              // (4) 
while(i < j){ 

while(i < j && a[j] > x)               // (5) 
j--;
if(i < j) 
Swap(&a[i], &a[j]), ++i;          // (6) 
// 
while(i < j && a[i] < x)               // (7) 
i++;
if(i < j)
Swap(&a[i], &a[j]), --j;           // (8) 
}
a[i] = x;
return i;
}
//递归进行划分
void QuickSort(int a[], int l, int r){ 

if(l < r){ 

int mid = Partition(a, l, r);
QuickSort(a, l, mid-1);
QuickSort(a, mid+1, r);
}
}
int main() { 

int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF) { 

Input(n, a);
QuickSort(a, 0, n-1);
Output(n, a);
}
return 0;
} 

• $(1)$ 随机选择一个基准 ；
• $(2)$ 将基准和最左边的值交换 ；
• $(3)$ 初始区间 $[l,r]$；
• $(4)$ 这里的 $x$ 是一开始随机出来那个基准值 ；
• $(5)$ 从右往左找，第一个满足a[j] <= x基准值 的，退出循环 ；
• $(6)$ 如果a[j] <= x基准值 ，则a[j]必须和 x交换，才能满足a[j]在基准值左边；且此时基准值是a[i]，交换完，基准值变成原先的a[j]，且 $i$ 需要自增一次；
• $(7)$ 从左往右找，第一个满足a[i] >= x基准值 的，退出循环 ；
• $(8)$ 如果a[i] >= x，则a[i]必须和x交换，才能满足a[i]在基准值右边；交换完，基准值又变回为a[i]，继续迭代；

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• 关于 「 快速排序 」 的内容到这里就结束了。

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八、随机快速
  
「 随机快速排序 」 在上文已经有所介绍，即基准数的选择采用随机的方式进行。

九、 希尔排序
  文章较长，导致编辑卡顿，故后续将在如下链接更新。


《画解数据结构》（4 – 8）- 希尔排序

十、 堆堆排序
  文章较长，导致编辑卡顿，故后续将整理至在如下链接更新。


《画解数据结构》（2 – 3）- 堆 与 优先队列

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• 如果还有不懂的问题，可以通过 「 作者主页 」找到作者的「 联系方式 」 进行在线咨询。

• 有关?《画解数据结构》? 的源码均开源，链接如下：《画解数据结构》

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