l1正则化为什么稀疏(特征值重根与秩的关系)

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

L1正则化与稀疏性

L1正则化使得模型参数具有稀疏性的原理是什么？

机器学习经典之作《pattern recognition and machine learning》中的第三章作出的一个解释无疑是权威且直观的，我们也经常都是从这个角度出发，来解释L1正则化使得模型参数具有稀疏性的原理。再回顾一下，以二维为例，红色和黄色的部分是L1、L2正则项约束后的解空间，蓝色的等高线是凸优化问题中的目标函数（未加入正则项的）的等高线，如图所示，L2正则项约束后的解空间是圆形，而L1正则项约束后的解空间是菱形，显然，菱形的解空间更容易在尖角处与等高线碰撞出稀疏解。

假设原目标函数是$y=(w_1-2{)}^2+(w_2-2{)}^2$
在未加入正则项之前，这个最优解无疑是$（w_1=2，w_2=2）$
但加入了正则项
$y=(w_1-2{)}^2+(w_2-2{)}^2+1\ast （w_1^2+w_2^2）$之后但最优解就不再是$（w_1=2，w_2=2）$，
而是$（w_1=1，w_2=1）$
这是$(w_1-2{)}^2+(w_2-2{)}^2=a$和$w_1^2+w_2^2=b$这两个圆的切点。切点处a=2,b=2,此时正好a=b，这与我们的目标函数取值$y=(w_1-2{)}^2+(w_2-2{)}^2$是个圆形有关，如果是其他形状，不一定有a=b。

上面的解释无疑是正确的，但还不够准确，也就是回答但过于笼统，以至于忽略了几个关键问题，例如，为什么加入正则项就是定义了一个解空间约束，为什么L1、L2正则项的解空间不同。如果第一个问题回答了，第二个问题相对好回答。
其实可以通过kkt条件给出一种解释。
事实上，“带正则化项”和“带约束条件”是等价的，为了约束w的可能取值空间从而防止过拟合。

如果我们为线性回归加上一个约束，就是w的l2范数不能大于m:
$$\begin{gathered} min\sum _{i=1}^N(y_i-w^T{x}_i{)}^2 \\ s.t.||w|{|}^2<=m\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

为了求解这个带约束条件的不等式，我们会写出拉格朗日函数
$$\sum _{i=1}^N(y_i-w^T{x}_i{)}^2+\lambda (||w|{|}^2-m)\text{\hspace{1em}(2)}$$
如果$w^{\ast }$是原问题(1)的解,${\lambda }^{\ast }$是对偶问题(2)的解,
一般都是先求出对偶问题的解${\lambda }^{\ast }$,然后带入kkt条件中（${\lambda }^{\ast }$和$w^{\ast }$的关系），就能求出$w^{\ast }$。$w^{\ast }$也必然是原问题的解。
这里kkt条件是：
$$\begin{gathered} 0=min{\nabla }_w(\sum _{i=1}^N(y_i-w^{\ast T}{x}_i{)}^2+{\lambda }^{\ast }(||w^{\ast }|{|}^2-m)) \\ s.t.0<={\lambda }^{\ast }\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$

其中，第一个式子就是带L2正则项的优化问题最优解$w^{\ast }$，而${\lambda }^{\ast }$是L2正则项前的系数。

这就是为什么带正则化项相当于为参数约束了解空间，且L2正则项为参数约束了一个圆形解空间，L1正则项为参数约束了一个菱形解空间，如果原问题的最优解没有落在解空间的内部，就只能落在解空间的边界上。
而L1正则项为参数约束了一个“棱角分明”的菱形解空间，更容易与目标函数等高线在角点，坐标轴上碰撞，从而产生稀疏性。

看到上面，其实我直接有个疑问，就是“如果我们为线性回归加上一个约束，就是w的l2范数不能大于m”、这句话里的m是个固定的确定值，还是瞎设的值。
后面我的想法是，任意给定一个m值，都能得到一个两圆相切的切点，从而得到其给定m条件下的带正则项的最优解，然后在不同的m值中，再选出某个m值对应的最优解是全局最优解，从而得到最终的最优解。