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中外数学教学名著与数学思想
(2011-08-01 13:30:56)
一、数学纵横
1.1华罗庚，华罗庚科普著作选集，沪教，84[必读]
1.2张奠宙，数学的明天，桂教，99
[纵论数学与数学教育，书中的一些观点高屋建瓴，发人深省。系“走向科学的明天丛书”之一，数学方面另有：平面几何定理的机器证明，集合与面积，组合数学方兴未艾，精益求精的最优化，大千世界的随机现象]
３５２注：张奠宙的 20世纪数学经纬经纬（张奠宙） 也很好
1.3石钟慈，第三种科学方法——计算机时代的科学计算，暨南、清华，00
[本书乃“院士科普书系”之一，另有：计算机怎样解几何题——谈谈自动推理，机会的数学]
1.4徐利治，数学方法论选讲，华中工学院，88年2版
1.5 M·克来因，古今数学思想，沪科技，79
[由北大数学系组织翻译]
1.6 胡·施坦豪斯，数学万花镜，湘教，99
[本书51年，80年，81年均有译本，作者另有：一百个数学问题，又一百个数学问题（沪教，80），三册书在国际上较有影响]
1.7梁之舜 吴伟贤，数学古今纵横谈，科学普及社广州分社，82
1.8盛立人，生活中的数学——管理必读，中科大，99
[书分12章，有实用价值，有深厚背景，有现代意识，书中内容将会日益受到关注]
1.9王梓坤，科学发现纵横谈，沪人，80[有多个版本，院士妙笔，必读]
1.10顾迈南，华罗庚传，冀人，85
1.11康斯坦西·瑞德，希尔伯特，沪科技，82[近有新版]
1.12储嘉康，现代数学的巨星——希尔伯特的故事，川少儿，83
1.13袁向东 李文林，三个女数学家，川少儿，81
1.14周培源 苏步青等，在茫茫的学海中——谈科学的学习方法，辽人，84
[系36位各学科名家所写治学经验，徐利治教授的文章最有味道]
1.15徐胜蓝 孟东明，杨振宁传，复旦，97
[两岸三地已出了五种版本，本书是第五版，我们能从这本不平凡的传记中获得启示和力量]
二、波利亚理论与解题研究
2.1 G·波利亚，怎样解题，科学，82
2.2 G·波利亚，数学的发现（二卷），蒙人，80
2.3 G·波利亚，数学与猜想（二卷），科学，84
2.4 刘云章 赵雄辉，数学解题思维策略——波利亚著作选讲，湘教，92年初版，99年2版
[本书从我国实情出发精选了波利亚的三大名著的内容及有关论文，其中也不乏作者自已的观点和态度，便于读者尽快了解波利亚数学教育理论的梗慨。必读]
2.5 杨世民 王雪琴，数学发现的艺术，青岛海洋大学，98
[本书有51万字，乃国人研究波利亚理论之杰作，必读]
2.6罗增儒，数学解题学引论，陕师大，97
[作者系硕士导师，在大学里开设同名课程，写有书、文约200万字。本书有50万字，必读]
2.7张国栋，数学解题过程与解题教学，京教，96
[系“北京教育丛书”之一，必读]
2.8过伯祥，怎样学好数学，苏教，95
2.9赵振威，数学发现导论，皖教，00
[本书有44万字。另有：中学数学解题研究，苏教，98，本书有32万字]
2.10戴再平，数学习题理论，沪教，96年2版
[另主编了关于数学开放题的多本书]
2.11欧阳维诚，初等数学典型方法研究，湘教，85年初版，98年2版
2.12胡炳生，数学解题思路与方法，皖科技，00
[以上两册从数学竞赛角度来谈解题方法研究，作者们数学功底深厚，极得一读]
2.13沈文选，中学数学解题典型方法例谈，湘师大，96
2.14罗增儒，怎样解答高考数学题，陕师大，95年第2版
2.15唐盛昌等，高中数学解题策略，沪教，97
[本书既有较高的立意，又能切合教学实际，可资参考]
三、数学教育与数学教学
3.1开创21世纪数学教育新局面——全国中学数学教育第九届年会论文特辑，沪科技，00
[有顾泠沅、马明等的妙文，本书有49万字]
3.2钟善基主编，中国著名特级教师教学思想录·中学数学卷，苏教，96
[收入了马明等14位特级教师教学经验介绍，本书有67万字，必读]
3.3孙维刚，孙维刚谈全班55%怎样考上北大考上清华，北方妇女儿童，99年初版，01年2版[必读]
3.4陈振宣，培养数学思维能力的探索，沪教，98
[名师多年经验，不可不读。本书系“上海教育丛书”之一，有37万字]
3.5杨之 汪杰良，返璞归真 滋兰树蕙——特级教师曾容数学教学探幽，华东理工大学，00
3.6杨象富，杨象富数学教学经验，浙教，91
[系“浙江省中小学特级教师教学经验选辑”之一，必读]
3.7胡炯涛 张芃，胡炯涛中学数学教学纵横谈，鲁教，97
[系“全国著名特级教师教学艺术与研究丛书”之一，另有：任勇中学数学教学艺术与研究]
3.8戴丽萍，中学数学思想方法的教学，沪教，99
[本书系“上海教育丛书”之一]
3.9蒋声，走向数学发现，大象社，99
[系《中学数学思维方法丛书》之一，王梓坤院士主编并作序，另有：原则与策略，猜想与合情推理，直觉探索方法，逻辑探索方法，整体方法，逻辑与演绎，综合与构造，转化与化归，抽象与模式，反思与监控，计算机与思维，观念与文化，共计13册，贴近中学实际，有较大参考价值]
3.10罗增儒，数学的领悟，豫科技，97
[系《让你开窍的数学》丛书
之一，王梓坤院士主编并作序，另有：解析几何方法漫谈，数学解题中的物理方法，数学解题中的动态思维，极端原理与解题，有趣的图形覆盖，趣味题与简捷解，从毕达哥拉斯到费尔马，贴近中学实际，有参考价值]
3.11张奠宙 过伯祥，数学方法论稿，沪教，96
3.12郭思乐 喻伟，数学思维教育论，沪教，97
3.13任樟辉，数学思维论，桂教，96
[系马忠林主编的“学科现代教育理论书系·数学·”之一，另有：数学课程论，数学学习论，数学方法论，数学教学论，数学教育评价]
3.14李明振主编，数学方法与解题研究，沪科教，00
[主编系数学教育专业硕士，编写了一半内容，本书有46万字]
3.15张奠宙主编，数学素质教育教案精编（点评本），中国青年，00
3.16张奠宙等，中学数学问题集，华东师大，97
[本书不是一般的习题集，每个学生都可从中找到自己感兴趣的问题，为数学活动课提供了良好的材料]
3.17叶其孝主编，中学数学建模，湘教，98
3.18王尚志主编，高中数学知识应用问题，湘教，99
3.19张思明，中学数学建模教学的实践与探索，京教，98
[系“北京教育丛书”之一]
3.20王守愚主编，思维与创造——北京第十五中学数学知识应用竞赛学生获奖论文选，气象社，00
[收集论文30篇。北京市数学会理事长王尚志教授撰文奖掖]
四、趣味数学
4.1阿尔伯特·H·贝勒，数论妙趣——数学女王的盛情款待，沪教，98
[序文称，数论趣题像催化剂，学生接触后可以激发学习数学的兴趣，效果极好，译者系谈祥柏，本书乃“通俗数学名著译丛”之一，另有：近代欧氏几何学，数学与联想，数学娱乐问题，数学趣闻集锦（上、下），数学：新的黄金时代，当代数学：为了人类心智的荣耀，无穷之旅——关于无穷大的文化史,
计算出人意料，站在巨人的肩膀上，数学：科学的语言，数学游戏与欣赏]
4.2马丁·加德纳，啊哈！灵机一动，沪科技文献，81
4.3《科学美国人》编辑部，从惊讶到思考，科技文献，82
4.4马丁·加德纳选编，萨姆劳埃德的数学趣题，沪科技教育，99
[系“加德纳趣味数学系列”之一，另有：萨姆劳埃德的数学趣题续篇，引人入胜的数学趣题，测试你的逻辑推理能力，逻辑推理新趣题，数学的奇妙]
4.5别莱利曼，趣味几何学，中国青年，80
[作者系前苏联著名数学普及读物作家，另有趣味代数学等]
4.6亨利·E·杜登尼，200个趣味数学故事，湘科技，84
4.7谈祥柏，趣味对策论，中国青年，1982
4.8谈祥柏，数学百草园，浙科技，83
4.9谈祥柏，数学广角镜，苏教，92年2版
4.10谈祥柏等，趣味数学辞典，沪辞书社，94[必读]
4.11谈祥柏，谈祥柏科普文集，沪科学普及，96
4.12谈祥柏，数：上帝的宠物，沪教，96
4.13唐世兴，数学游戏新编，沪教，79年初版，97年再版。
[书中称主要面向小学生，但实践证明初、高中学生皆有兴趣]
五、知识性读物
5.1华罗庚，从杨辉三角谈起，人教，64年新一版
[系“数学小丛书”之一，另有：对称，从祖冲之的圆周率谈起，力学在几何学中的一些应用，平均，格点与面积，一笔画和邮递路线问题，从刘徽割圆谈起，几种类型的极值问题，从孙子的“神奇妙算”谈起，等周问题，多面形的欧拉定理和闭曲面的拓扑分类，复数与几何，单位分数。皆为妙手偶得，不看岂不可惜]
5.2柯召 孙琦，初等数论100例，沪教，78
5.3柯召 孙琦，谈谈不定方程，沪教，78
5.4王元，谈谈素数，沪教，78
5.5常庚哲，抽屉原则及其他，沪教，78
5.6常庚哲，复数计算与几何证题，沪教，80
5.7常庚哲 苏淳，奇数和偶数，沪教，86
5.8单墫，几何不等式，沪教，80
5.9单墫，趣味的图论问题，沪教，80
5.10单墫，覆盖，沪教，83
5.11严镇军，从正五边形谈起，沪教，80
5.12严镇军，反射与反演，沪教，81
5.13冯克勤，射影几何趣谈，沪教，87
5.14管梅谷，图论中的几个极值问题，沪教，81
5.15吴利生 庄亚栋， 凸图形，沪教，82
5.16蒋声，从单位根谈起，沪教，80
5.17南山，柯西不等式与排序不等式，沪教，96
5.18俞文鱼此 陈守吉，人造卫星轨道的分析和计算，沪教，82
5.19南秀全 余石，奇数、偶数、完全平方数，沪教，98
[选读以上诸书，则数学功底自然日渐见长]
5.20黄国勋 李炯生，运动场上的数学，沪教，99年2版
[很合学生口味，系“中学生文库精选续编·数学趣谈辑”之八，另有：数学探奇，矩阵对策初步，生物数学趣谈，形形色色的曲线，世界数学名题选，SOS—编码纵横谈，棋盘上的数学]
5.21施咸亮，不等式，浙人，79
[系“数学进修用书”之一，至今仍有较大参考价值]
5.22陈培德，天平的数学与数学天平，辽教，98
[系“数学传播丛书”之一，由中国数学会数学传播委员会审定，讨论找假币问题，由浅入深，直至研究前沿，非常吸引人]
5.23柯召 魏万迪，初等组合学漫话，科学，84
[论述了30多个问题，有点专门，适合教师阅读]
5.24王志雄，数学美食城，民主与建设社，2000
[作者数学功底深厚，行笔流畅优雅，洋洋洒洒52万字，可读可研，实乃空前之佳作]
5.25 H·德里，100个著名初等数学问题，沪科技，82[名著]
5.26王长烈 朱煜民，世界数学名题趣题选，湘教，88年初版，98年再版
[适合学生课外阅读]
5.27傅钟鹏，极值巧解，辽人，80
[作者系高级工程师，有多本数学科普读物出版]
5.28马明，节约的数学，中国少年儿童，80
5.29马希文，数学花园漫游记，中国少年儿童，80
5.30 O·奥尔，有趣的数论，北大，85
[系“美国新数学丛书”之一，由北大数学系组织翻译，另有：拓扑学的首要概念，从毕达哥拉斯到爱因斯坦，科学中的数学方法，数学中的智巧，连分数，无限的用处，不等式入门，几何不等式，几何学的新探索，几何变换（共4册），选择的数学，早期数学史选篇]
5.31 D·A·约翰逊 W·H·格伦 ，大家学数学，科学，80
[英国《自修数学》小丛书之一，另有：测量世界，数型，毕达哥拉斯定理，统计世界，集合、命题与运算，数学逻辑与推理，曲线，拓扑学——橡皮膜上的几何学，概率与机率，向量基本概念，有限数学系统，无限数，矩阵，共14本]
5.32 Brian Bolt著，老谋深算，浙科技，99
[本书强调趣味性与研究性，重在培养学生的能力，业经实践，是课外活动的好材料，本书系“数学乐园”丛书之一，另有：趣味盎然，举一反三，茅塞顿开，触类旁通]
5.33王俊邦 罗振声，趣味离散数学，北大，98
[有53个问题，内容适宜向学生介绍]
5.34 李毓佩，数学天地，苏少年儿童，99
[作者写有多本优秀数学普及读物，本书系“趣味自然科学百科”丛书之一，面向中小学生，内容丰富，可读性强，有50万字，便于教师选用]
六、数学竞赛
6.1叶军，数学奥林匹克教程，湘师大，98
[书中许多问题是作者的研究成果，由此入径，必登堂奥。三次共印2万余册。本书有76万字。知识性的难题常可从本书中查到]
6.2单墫 熊斌总主编，奥数教程（高中三册），华东师大，00
[三册共计95万字，少量题目系高考难度，也可为教学所借鉴]
6.3黄宣国，数学奥林匹克大集·1994，沪教，97
[欲攻数学奥林匹克难题者，可看本书，本书有79万字]
6.4罗增儒，数学竞赛导论，陕师大，00
[其中有关国内数学竞赛的史料为它书所不备]
6.5常庚哲，初中数学竞赛妙题巧解，沪科技,87
6.6苏淳，从特殊性看问题，中科大，01
[系科大教授们写的“数学奥林匹克辅导丛书”之一，另有：组合恒等式，解析几何的技巧，算两次，构造法解题，漫谈数学归纳法]
6.7裘宗沪主编，历届全国高中数学联赛试题详解，开明社，99年修订版
6.8希望杯全国数学邀请赛试题、培训题及解答，气象社
[该赛1994年至今已有十二届，书分高中、初中，有多册]
6.9刘裔宏等译，普特南数学竞赛（1938~1980），湘科技，83
[虽系大学生数学竞赛，但其中一些内容已渗透到中学数学竞赛中]
6.10中国科协青少年部，角逐学科奥林匹克，中国少年儿童，98
[系获奖学生和教练写的体会文章]
七、初等数学研究
7.1初等数学论丛（共9册），沪教，80~86
7.2初等数学研究文集，沪教，92
7.3杨世明主编，中国初等数学研究文集（1980~1991），豫教，92
7.4杨之，初等数学研究的问题与课题，湘教，93
[杨之乃杨世明老师之笔名]
7.5单墫主编，几何不等式在中国，苏教，96
7.6陈计 叶中豪主编，初等数学前沿，苏教，96
7.7杨学枝主编，不等式研究，藏人，00
[以几何不等式为主，本书有50万字]
7.8单墫，组合几何，沪教，96
7.9冯跃峰，棋盘上的组合数学，沪教，98
[书中的大部分内容是作者在数学研究中的最新成果，有兴趣者可从中找到适合自己的课题，从而进入研究领域]
数学思想
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；
函数与方程
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
等价转化
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。
分类讨论
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。
③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
数形结合
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家）变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程。
数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。
数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，进入20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在即将进入21世纪的知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国或经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数学理伦与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。
应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之。为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的个重要方面，现在许多院校正在将数学建模与教学改革相结合，努力探索更有效的数学建模教学法和培养面向21世纪的人才的新思路，与我国高校的其它数学类课程相比，数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点，数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式，数学建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。数学建模以学生为主，教师利用一些事先设计好问题启发，引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生积极开展讨论和辩论，培养学生主动探索，努力进取的学风，培养学生从事科研工作的初步能力，培养学生团结协作的精神、形成一个生动活泼的环境和气氛，教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望、培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，提高他们的数举素质，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果。接受参加数学建模竞赛赛前培训的同学大都需要学习诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包的使用等等“短课程”（或讲座），用的学时不多，多数是启发性的讲一些基本的概念和方法，主要是靠同学们自己去学，充分调动同学们的积极性，充分发挥同学们的潜能。培训中广泛地采用的讨论班方式，同学自己报告、讨论、辩论，教师主要起质疑、答疑、辅导的作用，竞赛中一定要使用计算机及相应的软件，如Mathemathmatica,Matlab,Mapple，甚至排版软件等。
数学建模的几个过程：
模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）
模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。
模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。
模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。
模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
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