大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

【八数码问题】//https://vijos.org/p/1360

在3×3的棋盘上，摆有八个棋子，每个棋子上标有1至8的某一数字。棋盘中留有一个空格，空格用0来表示。空格周围的棋子可以移到空格中。要求解的问题是：给出一种初始布局（初始状态）和目标布局（为了使题目简单,设目标状态为123804765），找到一种最少步骤的移动方法，实现从初始布局到目标布局的转变。

【分析】

题目读完第一感觉是和求解最短路径问题类似，考虑使用BFS，状态很好找，每次移动空格就会形成一种新的状态，例如：

一、状态如何表示？

1.每个状态都用3*3的数组表示，但是BFS中需要入队出队，比较麻烦而且空间占用较大

2.状态压缩，采用一个整数保存状态的数字序列，例如状态1表示为283104765,状态2表示为203184765

二、如何判重？

1.如果空间允许，开一个876543210大小的bool数组，某个序列出现就将数组值置为1；但是竞赛中一般都是限制128M(大约10000000)，这个数组开不下来。

2.虽然状态范围是012345678–876543210，但是中间真正有效的只有9！=362800，因为数字不可能出现重复；因此可以考虑开一个数组大小为9！整型数组A和bool数组B，然后生成0-8这9个数码的全排列并按照升序或者降序存入数组中，要判断某个状态（一种排列方式）是否出现过，直接通过二分查找的方式找到该排列在A中的下标i，然后查看数组B[i]为true还是false；如果为true则出现过，如果为false则将状态入队，并设置B[i]=true;

3.其实从方案2中我们已经看到，判重的实质就是建立状态数字串（一个int数据）和是否出现（一个bool数据）之间的联系，而STL中刚好提供了map<key,value>这样一种容器，我们可以将状态数字串作为key，是否出现作为value直接建立起状态–是否出现的联系。

4.使用hash判重，将状态数字串通过某种映射f(x)从012345678–876543210这样一个大集合，映射到128M范围之内；这里采用简单的hash，取模一个大质数，只要这个质数大于9！即可；当然这里可能出现冲突，也就是key1!=key2但是f(key1)==f(key2),hash算法只能减少冲突不能避免冲突。这里如何减少冲突呢？挂链表，当key1!=key2但是f(key1)==f(key2),则将key2挂到key1后面；当然这里如果使用康托展开可以完美一一映射而不冲突，但是我不会(~^~)。

三、搜索方法的选择

搜索方法大方向肯定是BFS,只是在对BFS基础上还可以更优化，这里给出三种搜索方式，三种搜索方式和上面的三种判重组合起来就有9种解法了（哈哈哈）；

1.BFS（广度优先搜索）

这是最普通的广度优先算法，没啥好说的……

2.DBFS（双向广度优先搜索）

双向广度优先，两个队列，一个从起点开始扩展状态，另一个从终点开始扩展状态；如果两者相遇，则表示找到了一条通路，而且是最短的通路。双向广度优先可以大大提高效果，而且可以减少很多不必要的状态扩展。盗个图来说明一下，其中的阴影部分为减少的扩展状态

3.A*（启发式搜索）

启发式搜索，关键是启发策略的制定，一个好的启发式策略可以很快的得到解，如果策略不好可能会导致找不到正确答案。

在BFS搜索算法中，如果能在搜索的每一步都利用估价函数f(n)=g(n)+h(n)对Open表(队列）中的节点进行排序，则该搜索算法为A算法。由于估价函数中带有问题自身的启发性信息，因此，A算法又称为启发式搜索算法。

对启发式搜索算法，又可根据搜索过程中选择扩展节点的范围，将其分为全局择优搜索算法和局部择优搜索算法。

这里采用的启发式策略为：f(n) = g(n) + h(n)，其中g(n)为从初始节点到当前节点的步数(层数)，h(n)为当前节点“不在位”的方块数，例如下图中的h(n)=5，有很多博客中讲解的是不包含空格，我这里是包含了的，经测试只要前后标准一致，包不包含空格都一样。

下来看看启发式策略工作工程：红圈数字表示扩展顺序

四、代码实现

以上就是所有思路分析，下面是代码实现，有些代码有瑕疵，欢迎各位大佬指正(-_-)

1.全排列+BFS

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<ctime>
char ans[11],start[10];
bool isUsed[11];
int changeId[9][4]={
  
  {-1,-1,3,1},{-1,0,4,2},{-1,1,5,-1},
					{0,-1,6,4},{1,3,7,5},{2,4,8,-1},
					{3,-1,-1,7},{4,6,-1,8},{5,7,-1,-1}
					};//0出现在0->8的位置后该和哪些位置交换 
const int M=400000;//9！=362800，因此数组开40W足够了 
int num[M],len=0,des=123804765;//num存储所有排列，len表示排列的个数也就是9！，des为目的状态直接用整数表示便于比较 
bool isV[M];//bfs时判断状态是否出现过；isV的下标和num的下标一一对应，表示某种排列是否出现过
//通过isV和num建立起某种排列的组合成的整数int和bool的关系，其实STL中有map实现了key-->value，用排列作为key，value用bool即可 
int que[M][3];//0-->排列,1-->排列中0的位置,2-->步数 
void swap(char *c,int a,int b){//交换字符串中的两个位置 
	char t=c[a];
	c[a]=c[b];
	c[b]=t;
}
void paiLie(int n,int k){//深搜产生0-8的全排列 
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(!isUsed[i]){
			ans[k]=i+'0';
			isUsed[i]=1;
			if(k==n){//已经有n个转换存储 
				ans[k+1]='
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<ctime>
char ans[11],start[10];
bool isUsed[11];
int changeId[9][4]={
{-1,-1,3,1},{-1,0,4,2},{-1,1,5,-1},
{0,-1,6,4},{1,3,7,5},{2,4,8,-1},
{3,-1,-1,7},{4,6,-1,8},{5,7,-1,-1}
};//0出现在0->8的位置后该和哪些位置交换 
const int M=400000;//9！=362800，因此数组开40W足够了 
int num[M],len=0,des=123804765;//num存储所有排列，len表示排列的个数也就是9！，des为目的状态直接用整数表示便于比较 
bool isV[M];//bfs时判断状态是否出现过；isV的下标和num的下标一一对应，表示某种排列是否出现过
//通过isV和num建立起某种排列的组合成的整数int和bool的关系，其实STL中有map实现了key-->value，用排列作为key，value用bool即可 
int que[M][3];//0-->排列,1-->排列中0的位置,2-->步数 
void swap(char *c,int a,int b){//交换字符串中的两个位置 
char t=c[a];
c[a]=c[b];
c[b]=t;
}
void paiLie(int n,int k){//深搜产生0-8的全排列 
for(int i=0;i<n;i++){
if(!isUsed[i]){
ans[k]=i+'0';
isUsed[i]=1;
if(k==n){//已经有n个转换存储 
ans[k+1]='\0';
sscanf(ans+1,"%d",&num[len++]);
}
else
paiLie(n,k+1);
isUsed[i]=0;//回溯一步 
}
}
}
int halfFind(int l,int r,int n){//二分查找 
int mid=l+(r-l)/2;
if(num[mid]==n)return mid;
else if(l<r&&num[mid]>n)return halfFind(l,mid-1,n);
else if(l<r&&num[mid]<n) return halfFind(mid+1,r,n);
return -1;
}
int bfs(int n,int p){
int head=0,tail=1,temp;//head队头，tail队尾 
que[head][0]=n,que[head][1]=p,que[head][2]=head;//初始状态保存到对头，并设置当前步数为0 
while(head!=tail){//队列不为空则继续搜索 
char cur[10];//用于保存当前状态的字符串 
int  pos=que[head][1];//当前状态中0的位置 
sprintf(cur,"%09d",que[head][0]);//int-->char*这里的09d至关重要，否则算不出答案 
for(int i=0;i<4;i++){//扩展当前的状态，上下左右四个方向 
int swapTo=changeId[pos][i];//将要和那个位置交换 
if(swapTo!=-1){//-1则不交换 
swap(cur,pos,swapTo);//交换0的位置得到新状态 
sscanf(cur,"%d",&temp);//新状态转换为int保存到temp 
if(temp==des)//如果是目标状态则返回当前状态的步数+1 
return que[head][2]+1;
int k=halfFind(0,len,temp);//没有返回就查找当前排列的位置，将查出来的下标作为isV的下标 
if(!isV[k]){//如果 没有出现过，则将这个新状态进队 
que[tail][0]=temp,que[tail][1]=swapTo,que[tail][2]=que[head][2]+1;
tail++;	
isV[k]=1;
}
swap(cur,pos,swapTo);//一个新状态处理完了一定要记得将交换的0交换回来 
}
}
head++;
}
}
int main(){
int n,i=-1,count=0;
paiLie(9,1);//先将0-8的全排列按照升序产生出来存入num数组 
scanf("%s",start);//输入初始状态 
while(start[++i]!='0');//查找初始状态0的位置 
sscanf(start,"%d",&n);//字符串转换为整数 
//int s=clock();
if(n!=des)//判断输入状态是否就是目的状态 
count=bfs(n,i); 
printf("%d\n",count);
//printf("%.6lf",double(clock()-s)/CLOCKS_PER_SEC);
return 0;
}
';
				sscanf(ans+1,"%d",&num[len++]);
			}
			else
				paiLie(n,k+1);
			isUsed[i]=0;//回溯一步 
		}
	}
}
int halfFind(int l,int r,int n){//二分查找 
	int mid=l+(r-l)/2;
	if(num[mid]==n)return mid;
	else if(l<r&&num[mid]>n)return halfFind(l,mid-1,n);
	else if(l<r&&num[mid]<n) return halfFind(mid+1,r,n);
	return -1;
}
int bfs(int n,int p){
	int head=0,tail=1,temp;//head队头，tail队尾 
	que[head][0]=n,que[head][1]=p,que[head][2]=head;//初始状态保存到对头，并设置当前步数为0 
	while(head!=tail){//队列不为空则继续搜索 
		char cur[10];//用于保存当前状态的字符串 
		int  pos=que[head][1];//当前状态中0的位置 
		sprintf(cur,"%09d",que[head][0]);//int-->char*这里的09d至关重要，否则算不出答案 
		for(int i=0;i<4;i++){//扩展当前的状态，上下左右四个方向 
			int swapTo=changeId[pos][i];//将要和那个位置交换 
			if(swapTo!=-1){//-1则不交换 
				swap(cur,pos,swapTo);//交换0的位置得到新状态 
				sscanf(cur,"%d",&temp);//新状态转换为int保存到temp 
				if(temp==des)//如果是目标状态则返回当前状态的步数+1 
					return que[head][2]+1;
				int k=halfFind(0,len,temp);//没有返回就查找当前排列的位置，将查出来的下标作为isV的下标 
				if(!isV[k]){//如果 没有出现过，则将这个新状态进队 
					que[tail][0]=temp,que[tail][1]=swapTo,que[tail][2]=que[head][2]+1;
					tail++;	
					isV[k]=1;
				}
				swap(cur,pos,swapTo);//一个新状态处理完了一定要记得将交换的0交换回来 
			}
		}
		head++;
	}
}
int main(){
	int n,i=-1,count=0;
	paiLie(9,1);//先将0-8的全排列按照升序产生出来存入num数组 
	scanf("%s",start);//输入初始状态 
	while(start[++i]!='0');//查找初始状态0的位置 
	sscanf(start,"%d",&n);//字符串转换为整数 
	//int s=clock();
	if(n!=des)//判断输入状态是否就是目的状态 
		count=bfs(n,i); 
	printf("%d\n",count);
	//printf("%.6lf",double(clock()-s)/CLOCKS_PER_SEC);
	return 0;
}

2.Hash+BFS

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
char arr[10]; 
int changeId[9][4]={
  
  {-1,-1,3,1},{-1,0,4,2},{-1,1,5,-1},
					{0,-1,6,4},{1,3,7,5},{2,4,8,-1},
					{3,-1,-1,7},{4,6,-1,8},{5,7,-1,-1}};
const int M=2E+6,N=1000003;//362897;
int hashTable[M];//hashtable中key为hash值，value为被hash的值 
int next[M];//next表示如果在某个位置冲突，则冲突位置存到hashtable[next[i]] 
int que[N][3],des=123804765;
int hash(int n){
	return n%N; 
}
bool tryInsert(int n){
	int hashValue=hash(n);
	while(next[hashValue]){//如果被hash出来的值得next不为0则向下查找 
		if(hashTable[hashValue]==n)//如果发现已经在hashtable中则返回false 
			return false; 
		hashValue=next[hashValue];
	}//循环结束hashValue指向最后一个hash值相同的节点 
	if(hashTable[hashValue]==n)//再判断一遍 
		return false; 
	int j=N-1;//在N后面找空余空间，避免占用其他hash值得空间造成冲突 
	while(hashTable[++j]);//向后找一个没用到的空间 
	next[hashValue]=j;
	hashTable[j]=n;
	return true; 
}
void swap(char* ch,int a,int b){char c=ch[a];ch[a]=ch[b];ch[b]=c;}
int bfsHash(int start,int zeroPos){
	char temp[10];
	int head=0,tail=1;
	que[head][0]=start,que[head][1]=zeroPos,que[head][2]=0;
	while(head!=tail){
		sprintf(temp,"%09d",que[head][0]);
		int pos=que[head][1],k;
		for(int i=0;i<4;i++){
			if(changeId[pos][i]!=-1){
				swap(temp,pos,changeId[pos][i]);
				sscanf(temp,"%d",&k);
				if(k==des)return que[head][2]+1;
				if(tryInsert(k)){//插入新状态成功，则说明新状态没有被访问过 
					que[tail][0]=k;
					que[tail][1]=changeId[pos][i];
					que[tail][2]=que[head][2]+1;
					tail++;
				}
				swap(temp,pos,changeId[pos][i]);
			}
		}
		head++;
	}
}
int main(){
	int n,k;
	scanf("%s",arr);
	for(k=0;k<9;k++)
		if(arr[k]=='0')break;
	sscanf(arr,"%d",&n);
	printf("%d",bfsHash(n,k));	
	return 0;
}

hash判重居然比全排列还慢，一直想不通，

3.Map+BFS

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<map>
using namespace std;
map<int,bool> myMap;
int changeId[9][4]={
  
  {-1,-1,3,1},{-1,0,4,2},{-1,1,5,-1},
					{0,-1,6,4},{1,3,7,5},{2,4,8,-1},
					{3,-1,-1,7},{4,6,-1,8},{5,7,-1,-1}
					};//0出现在0->8的位置后该和哪些位置交换 
const int M=400000;//9！=362800，因此数组开40W足够了 
int des=123804765;//num存储所有排列，len表示排列的个数也就是9！，des为目的状态直接用整数表示便于比较 
int que[M][3];//0-->排列,1-->排列中0的位置,2-->步数 
void swap(char *c,int a,int b){//交换字符串中的两个位置 
	char t=c[a];
	c[a]=c[b];
	c[b]=t;
}
int bfs(int n,int p){
	int head=0,tail=1,temp;//head队头，tail队尾 
	myMap[n]=1;
	que[head][0]=n,que[head][1]=p,que[head][2]=head;//初始状态保存到对头，并设置当前步数为0 
	while(head!=tail){//队列不为空则继续搜索 
		char cur[10];//用于保存当前状态的字符串 
		int  pos=que[head][1];//当前状态中0的位置 
		sprintf(cur,"%09d",que[head][0]);//int-->char*这里的09d至关重要，否则算不出答案 
		for(int i=0;i<4;i++){//扩展当前的状态，上下左右四个方向 
			int swapTo=changeId[pos][i];//将要和那个位置交换 
			if(swapTo!=-1){//-1则不交换 
				swap(cur,pos,swapTo);//交换0的位置得到新状态 
				sscanf(cur,"%d",&temp);//新状态转换为int保存到temp 
				if(temp==des)//如果是目标状态则返回当前状态的步数+1 
					return que[head][2]+1;
				if(myMap.count(temp)==0){//如果 没有出现过，则将这个新状态进队 
					que[tail][0]=temp,que[tail][1]=swapTo,que[tail][2]=que[head][2]+1;
					tail++;	
					myMap[temp]=1;
				}
				swap(cur,pos,swapTo);//一个新状态处理完了一定要记得将交换的0交换回来 
			}
		}
		head++;
	}
}
int main(){
	char start[10];
	int n,i=-1,count=0;
	scanf("%s",start);//输入初始状态 
	while(start[++i]!='0');//查找初始状态0的位置 
	sscanf(start,"%d",&n);//字符串转换为整数 
	if(n!=des)//判断输入状态是否就是目的状态 
		count=bfs(n,i); 
	printf("%d",count);
	return 0;
}

STL用好了还是有很大作用的，能够减少代码实现难度的同时提高效果；

4.全排列+DBFS

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<ctime>
char ans[11],start[10];
bool isUsed[11];
int changeId[9][4]={
  
  {-1,-1,3,1},{-1,0,4,2},{-1,1,5,-1},
					{0,-1,6,4},{1,3,7,5},{2,4,8,-1},
					{3,-1,-1,7},{4,6,-1,8},{5,7,-1,-1}
					};//0出现在0->8的位置后该和哪些位置交换 
const int M=400000;//9！=362800，因此数组开40W足够了 
int num[M],len=0,des=123804765;//num存储所有排列，len表示排列的个数也就是9！，des为目的状态直接用整数表示便于比较 
int isV[M][2];//bfs时判断状态是否出现过；isV的下标和num的下标一一对应，表示某种排列是否出现过
//通过isV和num建立起某种排列的组合成的整数int和bool的关系，其实STL中有map实现了key-->value，用排列作为key，value用bool即可 
int que1[M/2][3],que2[M/2][3];//0-->排列,1-->排列中0的位置,2-->步数 
void swap(char *c,int a,int b){//交换字符串中的两个位置 
	char t=c[a];
	c[a]=c[b];
	c[b]=t;
}
void paiLie(int n,int k){//深搜产生0-8的全排列 
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(!isUsed[i]){
			ans[k]=i+'0';
			isUsed[i]=1;
			if(k==n){//已经有n个转换存储 
				ans[k+1]='
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<ctime>
char ans[11],start[10];
bool isUsed[11];
int changeId[9][4]={
{-1,-1,3,1},{-1,0,4,2},{-1,1,5,-1},
{0,-1,6,4},{1,3,7,5},{2,4,8,-1},
{3,-1,-1,7},{4,6,-1,8},{5,7,-1,-1}
};//0出现在0->8的位置后该和哪些位置交换 
const int M=400000;//9！=362800，因此数组开40W足够了 
int num[M],len=0,des=123804765;//num存储所有排列，len表示排列的个数也就是9！，des为目的状态直接用整数表示便于比较 
int isV[M][2];//bfs时判断状态是否出现过；isV的下标和num的下标一一对应，表示某种排列是否出现过
//通过isV和num建立起某种排列的组合成的整数int和bool的关系，其实STL中有map实现了key-->value，用排列作为key，value用bool即可 
int que1[M/2][3],que2[M/2][3];//0-->排列,1-->排列中0的位置,2-->步数 
void swap(char *c,int a,int b){//交换字符串中的两个位置 
char t=c[a];
c[a]=c[b];
c[b]=t;
}
void paiLie(int n,int k){//深搜产生0-8的全排列 
for(int i=0;i<n;i++){
if(!isUsed[i]){
ans[k]=i+'0';
isUsed[i]=1;
if(k==n){//已经有n个转换存储 
ans[k+1]='\0';
sscanf(ans+1,"%d",&num[len++]);
}
else
paiLie(n,k+1);
isUsed[i]=0;//回溯一步 
}
}
}
int halfFind(int l,int r,int n){//二分查找 
int mid=l+(r-l)/2;
if(num[mid]==n)return mid;
else if(l<r&&num[mid]>n)return halfFind(l,mid-1,n);
else if(l<r&&num[mid]<n) return halfFind(mid+1,r,n);
return -1;
}
bool expand(int head,int &tail,int who,int q[][3]){
char cur[10];//用于保存当前状态的字符串 
int  pos=q[head][1],temp;//当前状态中0的位置
sprintf(cur,"%09d",q[head][0]);//int-->char*这里的09d至关重要，否则算不出答案 
for(int i=0;i<4;i++){//扩展当前的状态，上下左右四个方向 
int swapTo=changeId[pos][i];//将要和那个位置交换 
if(swapTo!=-1){//-1则不交换 
swap(cur,pos,swapTo);//交换0的位置得到新状态 
sscanf(cur,"%d",&temp);//新状态转换为int保存到temp 
int k=halfFind(0,len,temp);//没有返回就查找当前排列的位置，将查出来的下标作为isV的下标 
if(isV[k][0]==0){//如果 没有出现过，则将这个新状态进队 
q[tail][0]=temp,q[tail][1]=swapTo,q[tail][2]=q[head][2]+1;
isV[k][0]=who;
isV[k][1]=tail;
tail++;
}
else if(isV[k][0]&&isV[k][0]!=who){
if(who==1)
printf("%d", q[head][2]+que2[isV[k][1]][2]+1);
else
printf("%d", q[head][2]+que1[isV[k][1]][2]+1);
return true;
}
swap(cur,pos,swapTo);//一个新状态处理完了一定要记得将交换的0交换回来 
}
}
return false;
}
void bfs(int n,int p){
int head1=0,tail1=1,head2=0,tail2=1;//head队头，tail队尾 
que1[head1][0]=n,que1[head1][1]=p,que1[head1][2]=head1;//初始状态保存到对头，并设置当前步数为0 
que2[head2][0]=des,que2[head2][1]=4,que2[head2][2]=head2;//初始状态保存到对头，并设置当前步数为0 
int k=halfFind(0,len,n);
isV[k][0]=1,isV[k][1]=0;
k=halfFind(0,len,des);
isV[k][0]=2,isV[k][1]=0;
while(head1!=tail1||tail2!=head2){//队列不为空则继续搜索 
if(tail2-head2>=tail1-head1){//2比1元素多就把1扩展 
if(expand(head1,tail1,1,que1))return; 
head1++;
}
else{
if(expand(head2,tail2,2,que2))return; 
head2++;
}
}
}
int main(){//812340756
int n,i=-1,count=0;
paiLie(9,1);//先将0-8的全排列按照升序产生出来存入num数组 
scanf("%s",start);//输入初始状态 
while(start[++i]!='0');//查找初始状态0的位置 
sscanf(start,"%d",&n);//字符串转换为整数
//int s=clock(); 
if(n!=des)//判断输入状态是否就是目的状态 
bfs(n,i); 
else
printf("%d",count);
//printf("\n%.6lf",double(clock()-s)/CLOCKS_PER_SEC);
return 0;
}
';
				sscanf(ans+1,"%d",&num[len++]);
			}
			else
				paiLie(n,k+1);
			isUsed[i]=0;//回溯一步 
		}
	}
}
int halfFind(int l,int r,int n){//二分查找 
	int mid=l+(r-l)/2;
	if(num[mid]==n)return mid;
	else if(l<r&&num[mid]>n)return halfFind(l,mid-1,n);
	else if(l<r&&num[mid]<n) return halfFind(mid+1,r,n);
	return -1;
}
bool expand(int head,int &tail,int who,int q[][3]){
	char cur[10];//用于保存当前状态的字符串 
	int  pos=q[head][1],temp;//当前状态中0的位置
	sprintf(cur,"%09d",q[head][0]);//int-->char*这里的09d至关重要，否则算不出答案 
	for(int i=0;i<4;i++){//扩展当前的状态，上下左右四个方向 
		int swapTo=changeId[pos][i];//将要和那个位置交换 
		if(swapTo!=-1){//-1则不交换 
			swap(cur,pos,swapTo);//交换0的位置得到新状态 
			sscanf(cur,"%d",&temp);//新状态转换为int保存到temp 
			int k=halfFind(0,len,temp);//没有返回就查找当前排列的位置，将查出来的下标作为isV的下标 
			if(isV[k][0]==0){//如果 没有出现过，则将这个新状态进队 
				q[tail][0]=temp,q[tail][1]=swapTo,q[tail][2]=q[head][2]+1;
				isV[k][0]=who;
				isV[k][1]=tail;
				tail++;
			}
			else if(isV[k][0]&&isV[k][0]!=who){
				if(who==1)
					printf("%d", q[head][2]+que2[isV[k][1]][2]+1);
				else
					printf("%d", q[head][2]+que1[isV[k][1]][2]+1);
				return true;
			}
			swap(cur,pos,swapTo);//一个新状态处理完了一定要记得将交换的0交换回来 
		}
	}
	return false;
}
void bfs(int n,int p){
	int head1=0,tail1=1,head2=0,tail2=1;//head队头，tail队尾 
	que1[head1][0]=n,que1[head1][1]=p,que1[head1][2]=head1;//初始状态保存到对头，并设置当前步数为0 
	que2[head2][0]=des,que2[head2][1]=4,que2[head2][2]=head2;//初始状态保存到对头，并设置当前步数为0 
	int k=halfFind(0,len,n);
	isV[k][0]=1,isV[k][1]=0;
	k=halfFind(0,len,des);
	isV[k][0]=2,isV[k][1]=0;
	while(head1!=tail1||tail2!=head2){//队列不为空则继续搜索 
		if(tail2-head2>=tail1-head1){//2比1元素多就把1扩展 
			if(expand(head1,tail1,1,que1))return; 
			head1++;
		}
		else{
			if(expand(head2,tail2,2,que2))return; 
			head2++;
		}
	}
}
int main(){//812340756
	int n,i=-1,count=0;
	paiLie(9,1);//先将0-8的全排列按照升序产生出来存入num数组 
	scanf("%s",start);//输入初始状态 
	while(start[++i]!='0');//查找初始状态0的位置 
	sscanf(start,"%d",&n);//字符串转换为整数
	//int s=clock(); 
	if(n!=des)//判断输入状态是否就是目的状态 
		bfs(n,i); 
	else
		printf("%d",count);
	//printf("\n%.6lf",double(clock()-s)/CLOCKS_PER_SEC);
	return 0;
}
 

乍一看，双向广度优先好像和普通的广度优先时间差不多，其实不然，不信自己去掉注释查看运行时间，那为什么测试出来的时间差不多呢？主要是普通BFS和DBFS中都是先生成了全排列，这个过程需要大量时间，而真正搜索占用时间较少，因此感觉不到太大的优化；这里如果采用hash+DBFS效果应该会比较明显。

5.Hash+DBFS

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
char arr[10]; 
int changeId[9][4]={
  
  {-1,-1,3,1},{-1,0,4,2},{-1,1,5,-1},
					{0,-1,6,4},{1,3,7,5},{2,4,8,-1},
					{3,-1,-1,7},{4,6,-1,8},{5,7,-1,-1}};
const int M=2E+6,N=1000003;//362897;
int hashTable[M][3];//hashtable中key为hash值，value为被hash的值 
int next[M];//next表示如果在某个位置冲突，则冲突位置存到hashtable[next[i]] 
int que1[M/2][3],que2[M/2][3],des=123804765;//0-->排列,1-->排列中0的位置,2-->步数 
int hash(int n){
	return n%N; 
}
bool tryInsert(int n,int who,int &index){
	int hashValue=hash(n);
	while(next[hashValue]){//如果被hash出来的值得next不为0则向下查找 
		if(hashTable[hashValue][0]==n){//如果发现已经在hashtable中则返回false 
			index=hashValue;
			return false;
		}
		hashValue=next[hashValue];
	}//循环结束hashValue指向最后一个hash值相同的节点 
	if(hashTable[hashValue][0]==n){//再判断一遍 
			index=hashValue;
			return false;
	}
	int j=N-1;//在N后面找空余空间，避免占用其他hash值得空间造成冲突 
	while(hashTable[++j][0]);//向后找一个没用到的空间 
	next[hashValue]=j;
	hashTable[j][0]=n;
	hashTable[j][1]=who;
	hashTable[j][2]=index;
	return true; 
}
void swap(char* ch,int a,int b){char c=ch[a];ch[a]=ch[b];ch[b]=c;}
bool expand(int head,int &tail,int who,int q[][3]){
	char cur[10];//用于保存当前状态的字符串 
	int  pos=q[head][1],temp;//当前状态中0的位置
	sprintf(cur,"%09d",q[head][0]);//int-->char*这里的09d至关重要，否则算不出答案 
	for(int i=0;i<4;i++){//扩展当前的状态，上下左右四个方向 
		int swapTo=changeId[pos][i];//将要和那个位置交换 
		if(swapTo!=-1){//-1则不交换 
			swap(cur,pos,swapTo);//交换0的位置得到新状态 
			sscanf(cur,"%d",&temp);//新状态转换为int保存到temp 
			int index=tail;//用了一点小技巧，通过引用调用，如果hashTable中已存在则带回下标
			if(tryInsert(temp,who,index)){//如果 没有出现过，则将这个新状态进队 
				q[tail][0]=temp,q[tail][1]=swapTo,q[tail][2]=q[head][2]+1;
				tail++;//也是通过应用代用实现该函数中tail改变影响bfs函数中的tail改变
			}
			else{
				if(hashTable[index][1]!=who){
					if(who==1)
						printf("%d", q[head][2]+que2[hashTable[index][2]][2]+1);
					else
						printf("%d", q[head][2]+que1[hashTable[index][2]][2]+1);
					return true;
				}
			}
			swap(cur,pos,swapTo);//一个新状态处理完了一定要记得将交换的0交换回来 
		}
	}
	return false;
}
void dbfsHash(int n,int p){
	int head1=0,tail1=1,head2=0,tail2=1;//head队头，tail队尾 
	que1[head1][0]=n,que1[head1][1]=p,que1[head1][2]=head1;//初始状态保存到对头，并设置当前步数为0 
	que2[head2][0]=des,que2[head2][1]=4,que2[head2][2]=head2;//初始状态保存到对头，并设置当前步数为0 
	tryInsert(n,1,head1);
	tryInsert(des,2,head2);
	while(head1!=tail1||tail2!=head2){//队列不为空则继续搜索 
		if(tail2-head2>=tail1-head1){//2比1元素多就把1扩展 
			if(expand(head1,tail1,1,que1))return; 
			head1++;
		}
		else{
			if(expand(head2,tail2,2,que2))return; 
			head2++;
		}
	}
}
int main(){
	int n,k;
	scanf("%s",arr);
	for(k=0;k<9;k++)
		if(arr[k]=='0')break;
	sscanf(arr,"%d",&n);
	dbfsHash(n,k);	
	return 0;
}

6.Hash+BFS+A*

#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
char arr[10],brr[10]="123804765";
struct node{
	int num,step,cost,zeroPos;
	bool operator<(const node &a)const{
		return cost>a.cost;
	}
	node(int n,int s,int p){
		num=n,step=s,zeroPos=p;
		setCost();
	}
	void setCost(){
		char a[10];
		int c=0;
		sprintf(a,"%09d",num);
		for(int i=0;i<9;i++)
			if(a[i]!=brr[i])
				c++;
		cost=c+step;
	}
};
int changeId[9][4]={
  
  {-1,-1,3,1},{-1,0,4,2},{-1,1,5,-1},
					{0,-1,6,4},{1,3,7,5},{2,4,8,-1},
					{3,-1,-1,7},{4,6,-1,8},{5,7,-1,-1}};
const int M=2E+6,N=1000003;//362897;
int hashTable[M];//hashtable中key为hash值，value为被hash的值 
int Next[M],des=123804765;//next表示如果在某个位置冲突，则冲突位置存到hashtable[next[i]] 
priority_queue<node> que;//优先级队列 
int Hash(int n){
	return n%N; 
}
bool tryInsert(int n){
	int hashValue=Hash(n);
	while(Next[hashValue]){//如果被hash出来的值得next不为0则向下查找 
		if(hashTable[hashValue]==n)//如果发现已经在hashtable中则返回false 
			return false; 
		hashValue=Next[hashValue];
	}//循环结束hashValue指向最后一个hash值相同的节点 
	if(hashTable[hashValue]==n)//再判断一遍 
		return false; 
	int j=N-1;//在N后面找空余空间，避免占用其他hash值得空间造成冲突 
	while(hashTable[++j]);//向后找一个没用到的空间 
	Next[hashValue]=j;
	hashTable[j]=n;
	return true; 
}
void swap(char* ch,int a,int b){char c=ch[a];ch[a]=ch[b];ch[b]=c;}

int bfsHash(int start,int zeroPos){
	char temp[10];
	node tempN(start,0,zeroPos); 
	que.push(tempN);
	while(!que.empty()){
		tempN=que.top();
		que.pop();
		sprintf(temp,"%09d",tempN.num);
		int pos=tempN.zeroPos,k;
		for(int i=0;i<4;i++){
			if(changeId[pos][i]!=-1){
				swap(temp,pos,changeId[pos][i]);
				sscanf(temp,"%d",&k);
				if(k==des)return tempN.step+1;
				if(tryInsert(k)){//插入新状态成功，则说明新状态没有被访问过 
					node tempM(k,tempN.step+1,changeId[pos][i]);
					que.push(tempM);
				}
				swap(temp,pos,changeId[pos][i]);
			}
		}
	}
}
int main(){
	int n,k,b=0;
	scanf("%s",arr);
	for(k=0;k<9;k++)
		if(arr[k]=='0')break;
	sscanf(arr,"%d",&n);
	if(n!=des)
		b=bfsHash(n,k);
	printf("%d",b);	
	return 0;
}

7.Map+BFS+A*

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
char arr[10],brr[10]="123804765";
struct node{
	int num,step,cost,zeroPos;
	bool operator<(const node &a)const{
		return cost>a.cost;
	}
	node(int n,int s,int p){
		num=n,step=s,zeroPos=p;
		setCost();
	}
	void setCost(){
		char a[10];
		int c=0;
		sprintf(a,"%09d",num);
		for(int i=0;i<9;i++)
			if(a[i]!=brr[i])
				c++;
		cost=c+step;
	}
};
int des=123804765;
int changeId[9][4]={
  
  {-1,-1,3,1},{-1,0,4,2},{-1,1,5,-1},
					{0,-1,6,4},{1,3,7,5},{2,4,8,-1},
					{3,-1,-1,7},{4,6,-1,8},{5,7,-1,-1}};
map<int,bool>mymap;
priority_queue<node> que;//优先级队列 
void swap(char* ch,int a,int b){char c=ch[a];ch[a]=ch[b];ch[b]=c;}
int bfsHash(int start,int zeroPos){
	char temp[10];
	node tempN(start,0,zeroPos);//创建一个节点 
	que.push(tempN);//压入优先级队列 
	mymap[start]=1;//标记开始节点被访问过 
	while(!que.empty()){
		tempN=que.top();
		que.pop();//弹出一个节点 
		sprintf(temp,"%09d",tempN.num);
		int pos=tempN.zeroPos,k;
		for(int i=0;i<4;i++){
			if(changeId[pos][i]!=-1){
				swap(temp,pos,changeId[pos][i]);
				sscanf(temp,"%d",&k);
				if(k==des)return tempN.step+1;
				if(mymap.count(k)==0){
					node tempM(k,tempN.step+1,changeId[pos][i]);
					que.push(tempM);//创建一个新节点并压入队列 
					mymap[k]=1;
				}
				swap(temp,pos,changeId[pos][i]);
			}
		}
	}
}
int main(){
	int n,k,b;
	scanf("%s",arr);
	for(k=0;k<9;k++)
		if(arr[k]=='0')break;
	sscanf(arr,"%d",&n);
	b=bfsHash(n,k);
	printf("%d",b);	
	return 0;
}

启发搜索中都是直接使用的STL中的priority_queue，这里也可以尝试使用小根堆自己写。启发式搜索效率相当可怕啊，这里只是给出了一种启发式策略，还有很多启发式策略，例如从某个状态到目标状态需要移动多少步。

代码中还有一些问题，比如都没有判断如果输入状态就是目标状态的情况，空间浪费较多