欧拉筛法（线性筛）的学习理解

全栈程序员-用户IM • 2022年4月5日下午7:00 • 未分类

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

前言

在刚接触编程语言时，对于寻找素数，第一时间想到的便是二重循环暴力查找，其复杂度O(n^2)，通过循环中只判断到根号n可以优化一些，不过复杂度也达不到预期。在数论的学习中，我学到了埃氏筛法，O(nloglogn)的算法，而在一些数据范围达到1e7这样的题目中，也很难让人满意，于是我便学习了欧拉筛法，也即 O(n)的线性筛法。

埃氏筛法

埃氏筛法的基本思想：从2开始，将每个质数的倍数都标记成合数，以达到筛选素数的目的。
代码：

int visit[maxn];  
void Prime(){
    mem(visit,0);           //初始化都是素数
    visit[0] = visit[1] = 1;  //0 和 1不是素数
    for (int i = 2; i <= maxn; i++) {
        if (!visit[i]) {         //如果i是素数，让i的所有倍数都不是素数
            for (int j = i*i; j <= maxn; j += i) { 
                visit[j] = 1;
            }
        }
    }

这里有一个小优化，j 从 i * i 而不是从 i + i开始，因为 i*(2~ i-1)在 2~i-1时都已经被筛去，所以从i * i开始。

埃氏筛法的缺陷：对于一个合数，有可能被筛多次。例如 30 = 2 * 15 = 3 * 10 = 5*6……那么如何确保每个合数只被筛选一次呢？我们只要用它的最小质因子来筛选即可，这便是欧拉筛法。

欧拉筛法

欧拉筛法的基本思想：在埃氏筛法的基础上，让每个合数只被它的最小质因子筛选一次，以达到不重复的目的。
代码：

int prime[maxn];
int visit[maxn];
void Prime(){
    mem(visit,0);
    mem(prime, 0);
    for (int i = 2;i <= maxn; i++) {
        cout<<" i = "<<i<<endl;
        if (!visit[i]) {
            prime[++prime[0]] = i;      //纪录素数， 这个prime[0] 相当于 cnt，用来计数
        }
        for (int j = 1; j <=prime[0] && i*prime[j] <= maxn; j++) {
//            cout<<"  j = "<<j<<" prime["<<j<<"]"<<" = "<<prime[j]<<" i*prime[j] = "<<i*prime[j]<<endl;
            visit[i*prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) {
                break;
            }
        }
    }
}

对于visit[i*prime[j]] = 1 的解释：这里不是用i的倍数来消去合数，而是把 prime里面纪录的素数，升序来当做要消去合数的最小素因子。
打表观察来理解：

发现i在消去合数中的作用是当做倍数的。
对于 i%prime[j] == 0 就break的解释：当 i是prime[j]的倍数时，i = kprime[j]，如果继续运算 j+1，i * prime[j+1] = prime[j] * k prime[j+1]，这里prime[j]是最小的素因子，当i = k * prime[j+1]时会重复，所以才跳出循环。
举个例子：i = 8 ，j = 1，prime[j] = 2，如果不跳出循环，prime[j+1] = 3，8 * 3 = 2 * 4 * 3 = 2 * 12，在i = 12时会计算。因为欧拉筛法的原理便是通过最小素因子来消除。