概率(Probability)的定义和性质

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

概率的定义：

描述性定义：
在相同的条件下，独立重复地做$N$次试验，当试验次数$N$很大时，如果事件$A$发生的频率$f_N(A)$稳定地在$[0,1]$内的某一个数值$p$，而且一般来说随着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小，则称数值$p$为事件$A$发生的概率，记为$P(A)=p$。

公理化定义：
设$E$为随机试验，$\Omega$是它的样本空间，对于$E$的每一个事件$A$赋予一个实数，记为$P(A)$，如果集合函数$P(\cdot )$满足下列条件：
(1)非负性：对于每一个事件$A$，$P(A)⩾0$；
(2)规范性：$P(\Omega )=1$
(3)可列可加性：对于两两互斥的事件$A_1,A_2,...,A_i,...,A_j,...,A_n$，即$A_i{A}_j=\varphi (i̸=j)$有：$$P(\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n)=\sum _{n=1}^{\infty }P(A_n)$$则称实数$P(A)$为事件$A$的概率。

概率的性质：

性质1：
不可能事件$\varphi$的概率为0，即$P(\varphi )=0$

性质2：
有限可加性，若$A_1,A_2,...,A_i,...,A_j,...,A_n$为两两互斥事件，即$A_i{A}_j=\varphi (i̸=j)$，则有$$P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$$

性质3：
设$A$，$B$是两个事件，$P(B-A)=P(B)-P(BA)$；特别的，若$A\subset B$，则:
(1)$P(B-A)=P(B)-P(A)$,
(2)$P(B)⩾P(A)$

性质4：
对于任一事件$A$，有$P(A)⩽1$

性质5：
对于任一事件$A$，有$P(\overline{A})=1-P(A)$

性质6：
对于任意两个事件$A$、$B$有$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$;特别地，若$A$与$B$互斥，则有$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$。
上述公式通常称为概率加法公式：$$P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)-\sum _{1⩽i<j⩽n}P(A_i{A}_j)+\sum _{1⩽i<j<k⩽n}P(A_i{A}_j{A}_k)+...+(-1{)}^{n-1}P(A_i{A}_j...A_n)$$

重要的概率关系公式：

事件独立性：
事件相互独立，即多个事件的发生相互之间没有影响，或不提供任何信息引起其他事件的发生。若$A$、$B$两事件相互独立，则有$$P(AB)=P(A)P(B)$$
德摩根定律：
两个集合的交集的补集等于它们各自补集的并集：
$$\overline{AB}=\overline{A}\cup \overline{B}$$两个集合的并集的补集等于它们各自补集的交集$$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$$
概率的性质三：
$$P(A-B)=P(A)-P(AB)$$若$B\subset A$，则:
$$P(A-B)=P(A)-P(B)$$
概率的性质五：
对于任一事件$A$，有$$P(\overline{A})=1-P(A)$$
概率加法公式(概率的性质六)：
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$当$A$与$B$互斥，则：$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$
条件概率：
求事件$B$已发生的条件下事件$A$发生条件概率，即：$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$$
乘法公式：
求几个事件同时发生的概率，即：$$P(A_1{A}_2...A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)...P(A_n|A_1...A_{n-1})$$例如，若有$A$、$B$两随机事件，则$A$、$B$同时发生的概率为：$$P(AB)=P(A)P(B|A)$$
全概率公式：
某一事件$B$发生是由各种原因$A_i,(i=1,2,...,n)$引起的，则$B$发生的概率与$P(B{A}_i),(i=1,2,...,n)$有关，且等于他们的总和，即$$P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$$
贝叶斯公式(逆全概率公式)：
当结果$B$发生时，它是由原因$A_i$引起的可能性的大小，即要计算事件$A_i$在事件$B$已发生的条件下的条件概率为：$$P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{{\sum }_{j=1}^{n}P(A_j)P(B|A_j)}$$