大整数的加法运算_大整数相减

大整数的加法运算_大整数相减问题:如果给出两个很大很大的整数,这两个数大到long类型也装不下,如何求他们的和呢?回顾起小学数学,当我们需要计算两个较大数目的加减乘除,我们是用列竖式的方式来计算的。因为对于较大的整数,我们无法一步就直接计算出结果,所以不得不把计算过程拆分成一个一个小步骤来完成。不仅仅是人脑,对于计算机来说也可以这样解决。程序不可能通过一条指令计算出两个大整数之和,却可以像列竖式一样将运算拆解成若干小…

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。

问题:

如果给出两个很大很大的整数,这两个数大到long类型也装不下,比如100位整数,如何求它们的和呢?

分析:

回顾起小学数学,当我们需要计算两个较大数目的加减乘除,我们是用列竖式的方式来计算的。
在这里插入图片描述

因为对于较大的整数,我们无法一步就直接计算出结果,所以不得不把计算过程拆分成一个一个小步骤来完成。

不仅仅是人脑,对于计算机来说也可以这样解决。程序不可能通过一条指令计算出两个大整数之和,却可以像列竖式一样将运算拆解成若干小运算。

可是,如果大整数超出了long型的范围,该如何存储这个数呢?
我们想到了数组,可以用数组的每一个元素存储整数的每一个数位

在程序中列出的 “竖式” 究竟是什么样子呢?我们以 426709752318 + 95481253129 为例,来看看大整数相加的详细步骤:
  1. 第一步,把整数倒序存储,整数的个位存于数组0下标位置,最高位存于数组长度-1下标位置。之所以倒序存储,更加符合我们从左到右访问数组的习惯。
    在这里插入图片描述

  2. 第二步,创建结果数组,结果数组的最大长度是较大整数的位数+1,原因是可以存储进位。
    在这里插入图片描述

  3. 第三步,遍历两个数组,从左到右按照对应下标把元素两两相加,结果存储在结果数组对应下标的位置上,进位存储在下一个位置,就像小学生计算竖式一样。

例子中,最先相加的是数组A的第1个元素8和数组B的第1个元素9,结果是7,进位1。把7填充到Result数组的对应下标,进位的1填充到下一个位置:
在这里插入图片描述
第二组相加的是数组A的第2个元素1和数组B的第2个元素2,结果是3,再加上刚才的进位1,把4填充到Result数组的对应下标:
在这里插入图片描述
依此类推…一直把数组的所有元素都相加完毕:
在这里插入图片描述

  1. 第四步,把结果数组的全部元素再次逆序,去掉首位的,就是最终结果。
    在这里插入图片描述

代码如下:

    /**
     * 大整数求和
     * @param bigNumberA  大整数A
     * @param bigNumberB  大整数B
     */

    public static String bigNumberSum(String bigNumberA, String bigNumberB) {

        //1.把两个大整数用数组逆序存储,数组长度等于较大整数位数+1

        int maxLength = bigNumberA.length() > bigNumberB.length() ? bigNumberA.length() : bigNumberB.length();

        int[] arrayA = new int[maxLength+1];
        for(int i=0; i< bigNumberA.length(); i++){
            arrayA[i] = bigNumberA.charAt(bigNumberA.length()-1-i) - '0';//“ - '0'”是将String型转化为int型
        }

        int[] arrayB = new int[maxLength+1];
        for(int i=0; i< bigNumberB.length(); i++){
            arrayB[i] = bigNumberB.charAt(bigNumberB.length()-1-i) - '0';
        }

        //2.构建result数组,数组长度等于较大整数位数+1
        int[] result = new int[maxLength+1];

        //3.遍历数组,按位相加
        for(int i=0; i<result.length; i++){
            int temp = result[i];				//加上前一位的进位
            temp += arrayA[i];
            temp += arrayB[i];
            
            //判断是否进位
            if(temp >= 10){
                temp = temp-10;				//有进位的话将temp化为一位数
                result[i+1] = 1;					//将进位1存储到结果数组的下一位
            }

            result[i] = temp;					//将1位数存储到结果数组对应位

        }

        //4.把result数组再次逆序并转成String
        StringBuilder sb = new StringBuilder();

        //用于标记是否找到大整数的最高有效位
        boolean findFirst = false;

        for (int i = result.length - 1; i >= 0; i--) {//从后往前
            if(!findFirst){
                if(result[i] == 0){				//用于跳过结果数组末尾的0
                    continue;
                }
                findFirst = true;
            }
            sb.append(result[i]);
        }

        return sb.toString();

    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(bigNumberSum("426709752318", "95481253129"));
    }

时间复杂度:

那么,这个算法的时间复杂的是多少呢?
如果给定大整数的最长位数是n,那么创建数组、按位计算、结果逆序的时间复杂度各自是O(n),整体的时间复杂度也是O(n)。

优化:

其实这个算法还存在可以优化的地方。如何优化呢?

我们之前是把大整数按照每一个十进制数位来拆分,比如较大整数的长度有50位,那么我们需要创建一个51位的数组,数组的每个元素存储其中一位。

我们真的有必要把原整数拆分得那么细吗?
显然不需要,只需要拆分到可以被直接计算的程度就够了。

int类型的取值范围是 -2147483648——2147483647,最多有10位整数。为了防止溢出,我们可以把大整数的每9位作为数组的一个元素,进行加法运算。如此一来,占用空间和运算次数,都被压缩了9倍。

本文来源于公众号程序员小灰,有删改。

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