一、什么是二叉树
二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构,二叉树是递归定义的,其结点有左右子树之分,通常包含:满二叉树、完全二叉树、霍夫曼树、平衡二叉树、红黑树等。
满二叉树:如果二叉树中所有分支结点的度数都为2,并且叶子结点都在统一层次上,则二叉树为满二叉树,从图形形态上看,满二叉树外观上是一个三角形;从数学上看,满二叉树的各个层的结点数形成一个首项为1,公比为2的等比数列。如图:
完全二叉树:完全二叉树从根结点到倒数第二层满足满二叉树,最后一层可以不完全填充,其叶子结点都靠左对齐。满二叉树一定是完全二叉树,完全二叉树不一定是满二叉树。
非完全二叉树:
二、二叉树常见的问题
本文包括:
2.1 二叉树的创建
2.2 二叉树的遍历
2.3 求叶子节点的个数
2.4 求树的深度
2.5 交换树的左右子树
2.6 判断一个节点是否在一棵子树中
2.7 求树中总共的节点个数
2.8 判断两个树是否相同
2.9 判断一个树是否为另一棵树的子树
2.1 二叉树的创建
参考代码:https://www.cnblogs.com/BeyondAnyTime/archive/2012/08/27/2659163.html
#include <QCoreApplication> #include <QDebug> #include <QTextStream> //二叉树的节点 class BinTreeNode { private: int data; BinTreeNode *left,*right; public: //利用初始化列表完成data、left、right的初始化 BinTreeNode(const int &item,BinTreeNode *lPtr = NULL,BinTreeNode *rPtr = NULL):data(item) ,left(lPtr),right(rPtr){} void set_data(int item) { data = item; } int get_data()const { return data; } void set_left(BinTreeNode *l) { left = l; } BinTreeNode *get_left() const { return left; } void set_right(BinTreeNode *r) { right = r; } BinTreeNode *get_right() const { return right; } }; //二叉树 class BinTree { private: BinTreeNode *root; public: BinTree(BinTreeNode *t = NULL):root(t){} ~BinTree(){delete root;} void set_root(BinTreeNode *t) { root = t; } BinTreeNode *get_root() const { return root; } //创建二叉树 BinTreeNode * create_tree(); }; BinTreeNode *BinTree::create_tree() { QString item; BinTreeNode *t,*t_l,*t_r; QTextStream qin(stdin); qin>>item; int data = item.toInt(); if(item != "#") { BinTreeNode *pTmpNode = new BinTreeNode(data); t = pTmpNode; t_l = create_tree(); t->set_left(t_l); t_r = create_tree(); t->set_right(t_r); return t; } else { t = NULL; return t; } } int main(int argc, char *argv[]) { QCoreApplication a(argc, argv); BinTree tree; qDebug()<<"输入二叉树前序序列进行建树,\"#\"代表空节点"<<endl; tree.set_root(tree.create_tree()); return a.exec(); }
由此,可以看到,其实构造一个二叉树并不是一个十分困难的过程,当然我们采用的是先序创建。结合自己的想法很容易写出二叉树:
#include <QCoreApplication> #include <QDebug> #include <QTextStream> class binTreeTest { public: int data; binTreeTest *left,*right; void setData(int item) { data = item; } int getData() { return data; } void set_left(binTreeTest *l) { left = l; } binTreeTest * get_left()const { return left; } void set_right(binTreeTest *r) { right = r; } binTreeTest * get_right()const { return right; } }; void createBinTree(binTreeTest **r) { QString item; QTextStream qin(stdin); qin>>item; int data = item.toInt(); binTreeTest *T_l,*T_r; if(item != "#") { (*r)->setData(data); T_l = new binTreeTest; T_r = new binTreeTest; createBinTree(&T_l); (*r)->set_left(T_l); createBinTree(&T_r); (*r)->set_right(T_r); } else { *r = NULL; } } int main(int argc, char *argv[]) { QCoreApplication a(argc, argv); binTreeTest *tree = new binTreeTest; qDebug()<<"输入二叉树前序序列进行建树,\"#\"代表空节点"<<endl; createBinTree(&tree); return a.exec(); }
在使用的过程中,注意C++的使用:https://www.cnblogs.com/pinking/p/9339201.html。
2.2 二叉树的遍历
二叉树的遍历分为两种策略:深度优先和广度优先,深度优先又包含:中序遍历、前序遍历、后序遍历。记忆的时候就看中间那个是什么就是什么序的遍历。
中序遍历:左子树—> 根结点 —> 右子树
前序遍历:根结点 —> 左子树 —> 右子树
后序遍历:左子树 —> 右子树 —> 根结点
层次遍历:仅仅需按层次遍历就可以
构造二叉树如图:
输入构造二叉树:
中序遍历代码:
void middle(binTreeTest *t) { if(t != NULL) { binTreeTest *l,*r; l = t->get_left(); middle(l); qDebug()<<t->getData(); r = t->get_right(); middle(r); } }
中序遍历输出结果:
同理,前序遍历应该的结果为:1、2、3、4、5、6、7、8、9 。代码如下:
1 void forward(binTreeTest *t) 2 { 3 if(t != NULL) 4 { 5 qDebug()<<t->getData(); 6 forward(t->get_left()); 7 forward(t->get_right()); 8 } 9 }
View Code
后序遍历的结果应该为:4、5、3、2、8、9、7、6、1 。代码如下:
1 void backward(binTreeTest *t) 2 { 3 if(t != NULL) 4 { 5 backward(t->get_left()); 6 backward(t->get_right()); 7 qDebug()<<t->getData(); 8 } 9 }
View Code
层次遍历,通常采用队列的形式,保持先进先出的方式,层次遍历每一层,结果为:1、2、6、3、7、4、5、8、9 。代码如下:
1 void level(binTreeTest *t) 2 { 3 if(t == NULL) 4 return; 5 QQueue<binTreeTest*> queue; 6 queue.enqueue(t); 7 while (!queue.empty()) 8 { 9 binTreeTest *ptem = queue.front(); 10 qDebug()<<ptem->getData(); 11 queue.pop_front(); 12 if(ptem->get_left() != NULL) 13 { 14 queue.push_back(ptem->get_left()); 15 } 16 if(ptem->get_right() != NULL) 17 { 18 queue.push_back(ptem->get_right()); 19 } 20 } 21 }
View Code
2.3 求叶子节点的个数
求叶子节点的个数还是比较好理解的,代码如下:
int get_leaf_num(binTreeTest *t) { if(t == NULL) return 0; if(t->get_left() == NULL && t->get_right() == NULL) { return 1; } return get_leaf_num(t->get_left())+get_leaf_num(t->get_right()); }
2.4 求树的深度
int getTreeHeight(binTreeTest *t) { if (t == NULL) return 0; if(t->get_left() == NULL && t->get_left() == NULL) { return 1; } int l_height = getTreeHeight(t->get_left()); int r_height = getTreeHeight(t->get_right()); return l_height>=r_height?l_height+1:r_height+1; }
2.5 交换树的左右子树
void swap_tree(binTreeTest *t) { if(t == NULL) return; binTreeTest *temp = new binTreeTest; temp = t->get_right(); t->set_right(t->get_left()); t->set_left(temp); swap_tree(t->get_left()); swap_tree(t->get_right()); }
2.6 判断一个节点是否在一棵子树中
其实思想和遍历是一样的,代码如下:
bool isInTree(binTreeTest *tree,binTreeTest *nodeTree) { //查找的节点为NULL时,代表没有查到 if(tree == NULL) return false; else if(tree->getData() == nodeTree->getData()) { return true; } else { bool has = false; if(tree->get_left() != NULL) { has = isInTree(tree->get_left(),nodeTree); } if((has == false) && (tree->get_right() != NULL)) { has = isInTree(tree->get_right(),nodeTree); } return has; } }
2.7 求树中总共的节点个数
int getNumNode(binTreeTest *t) { if(t == NULL) return 0; return getNumNode(t->get_left())+getNumNode(t->get_right())+1; }
2.8 判断两个树是否相同
bool compared(binTreeTest *tree,binTreeTest *tree2) { //两个树都是空 if(tree == NULL && tree2 == NULL) return true; if(tree == NULL || tree2 == NULL)//其中有一个为NULL就不用比了 return false; if(tree->getData() == tree2->getData()) { return compared(tree->get_left(),tree2->get_left())&&compared(tree->get_right(),tree2->get_right()); } else { return false; } }
2.9 判断一个树是否为另一棵树的子树
这个需要结合上面的判断两棵树是否相同来判断:
bool compared(binTreeTest *tree,binTreeTest *tree2) { //两个树都是空 if(tree == NULL && tree2 == NULL) return true; if(tree == NULL || tree2 == NULL)//其中有一个为NULL就不用比了 return false; if(tree->getData() == tree2->getData()) { return compared(tree->get_left(),tree2->get_left())&&compared(tree->get_right(),tree2->get_right()); } else { return false; } } bool judgeNode(binTreeTest *tree,binTreeTest *child) { // 两个都是空树 if(tree == NULL && child == NULL) return true; // 空树是任意的子树 if(child == NULL) return true; // 空树没有其他非空的子树 if(tree == NULL) return false; //排除空树的情况 if(tree->getData() == child->getData()) { return compared(tree,child); } else { bool result = judgeNode(tree->get_left(),child); if(result == false) return judgeNode(tree->get_right(),child); return result; } }
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