多项式回归

多项式回归

在上一节所介绍的非线性回归分析,首先要求我们对回归方程的函数模型做出推断。尽管在一些特定的情况下我们能够比較easy地做到这一点,可是在很多实际问题上经常会令我们不知所措。依据高等数学知识我们知道,不论什么曲线能够近似地用多项式表示,所以在这样的情况下我们能够用多项式进行逼近,即多项式回归分析。

    一、多项式回归方法

如果变量yx的关系为p次多项式,且在xi处对y的随机误差 <span>多项式回归</span> (i=1,2,…,n)服从正态分布N(0,<span>多项式回归</span>),则

<span>多项式回归</span>

    

xi1=xi, xi2=xi2,…,xip=xip

    则上述非线性的多项式模型就转化为多元线性模型,即

 <span>多项式回归</span>

    这样我们就能够用前面介绍的多元线性回归分析的方法来解决上述问题了。其系数矩阵、结构矩阵、常数项矩阵分别为

<span>多项式回归</span>   (2-4-11)

 

<span>多项式回归</span>                 (2-4-12)

 

<span>多项式回归</span>                       (2-4-13)

 

    回归方程系数的最小二乘预计为

<span>多项式回归</span>                       (2-4-14)

须要说明的是,在多项式回归分析中,检验bj是否显著,实质上就是推断xj次项xjy是否有显著影响。

对于多元多项式回归问题,也能够化为多元线性回归问题来解决。比如,对于

<span>多项式回归</span>       (2-4-15)

    令xi1=Zi1, xi2=Zi2, xi3=Zi12, xi4=Zi1Zi2, xi5=Zi22

    (2-4-15)式转化为

<span>多项式回归</span>

    转化后就能够依照多元线性回归分析的方法攻克了。

    以下我们通过一个实例来进一步说明多项式回归分析方法。

    

    一、应用举例

    2-4-2  某种合金中的主要成分为元素AB,试验发现这两种元素之和与合金膨胀系数之间有一定的数量关系,试依据表2-4-3给出的试验数据找出yx之间的回归关系。

2-4-3  2-4-2试验数据

<span>多项式回归</span>

 首先画出散点图(图2-4-3)。从散点图能够看出,yx的关系能够用一个二次多项式来描写叙述:

<span>多项式回归</span>

i=1,2,3…,13

2-4-3  2-4-2的散点图

    

xi1=xi,xi2=xi2,

    

<span>多项式回归</span>

    如今我们就能够用本篇第二章介绍的方法求出<span>多项式回归</span> <span>多项式回归</span> <span>多项式回归</span> 的最小二乘预计。由表2-4-3给出的数据,求出

<span>多项式回归</span>

    由(2-2-16)式

<span>多项式回归</span>

    由此可列出二元线性方程组

<span>多项式回归</span>

    将这个方程组写成矩阵形式,并通过初等变换求b1,b2和系数矩阵L的逆矩阵L-1:

<span>多项式回归</span>

    于是

    b1=-13.3854

    b2=0.16598

    b0=2.3323+13.3854<span>多项式回归</span> 40-0.16598<span>多项式回归</span> 1603.5=271.599

    因此

<span>多项式回归</span>

    以下对回归方程作显著性检验:

    由(2-2-43)式

S=<span>多项式回归</span>

    由(2-2-42)式

S=<span>多项式回归</span>

S=Lyy– S=0.2572

 将上述结果代入表2-2-2中制成方差分析表例如以下:

2-4-4          方差分析表

<span>多项式回归</span>

 

    F检验表,F001210=7.56, F>F0.01(2 ,10),说明回归方程是高度显著的。

    以下对回归系数作显著性检验

    由前面的计算结果可知:

    b1=-13.3854            b2=0.16598

    c11=51.125            c22=7.9916<span>多项式回归</span> 10-3

    由(2-2-54)式

<span>多项式回归</span>

    由(2-2-53)式

<span>多项式回归</span>

<span>多项式回归</span>

    检验结果说明的x一次及二次项对y都有显著影响。

 

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