补码

3．经常使用数值编码

因为机器数在计算时，假设符号位和数值位同一时候參与运算，则可能会产生错误结果；而假设单独考虑符号问题，又会添加运算器件的实现难度。因此，为了使计算机可以方便地对数值进行各种算术逻辑运算，必须对数值型数据进行二进制编码处理。所谓编码是採用少量的基本符号（如0和1），依照一定的组合原则，来表示大量复杂多样的信息的技术。编码的优劣直接影响到计算机处理信息的速度。数值型数据的经常使用编码方法包含：原码、反码、补码。

（1）原码。原码的编码规则是：符号位0表示正，1表示负，数值部分用该数绝对值的二进制数表示。当整数时，小数点隐含在最低位之后；当纯小数时，小数点隐含在符号位和数值位之间，均不占位。通经常使用[X]_原表示数X的原码。

比如，设机器字长为8位，

[+1]_原 = 00000001         [+127]_原 = 01111111       [+0]_原 = 00000000

[– 1]_原 = 10000001        [– 127]_原 = 11111111       [– 0]_原 = 10000000

显然，按原码的编码规则，零有两种表示形式。

原码表示法简明易懂，与其真值的转换方便，比較easy进行乘除运算。可是在进行加减运算时，原码运算非常不方便。因为符号位不能和数值一样參与运算，所以要依据两数的符号情况，同号相加，异号相减，还要依据两数的绝对值大小，令大数减去小数，最后还要推断结果的符号。这样不仅要求运算器既能作加法，又能作减法，还必须附加很多条件推断的处理，终于既添加了运算器的实现复杂性，又延长了运算的时间。

（2）反码。反码的编码规则是：符号位0表示正，1表示负，正数的反码等于原码，负数的反码等于原码除符号位外按位取反，即0变1、1变0。通经常使用[X]_反表示数X的反码。

比如，设机器字长为8位，

[+1]_反 = 00000001         [+127]_反 = 01111111       [+0]_反 = 00000000 

[– 1]_反 = 11111110          [– 127]_反 = 10000000     [– 0]_反 = 11111111

显然，按反码的编码规则，零也有两种表示形式。

反码非常easy由原码获得，但相同不方便运算，一般在求补码的过程中用到反码。

（3）补码。补码的编码规则是：符号位0表示正，1表示负，正数的补码等于原码，负数的补码等于反码末位加1。通经常使用[X]_补表示数X的补码。

比如，设机器字长为8位，

[+1]_补 = 00000001         [+127]_补 = 01111111       [+0]_补 = 00000000

[– 1]_补 = 11111111          [– 127]_补 = 10000001     [– 0]_补 = 00000000

显然，按补码的编码规则，零有惟一的表示形式。

补码的概念来源于数学上的“模”和补数。比如，将钟表的时针顺时针拨快5小时和逆时针拨慢7小时，最后指示的位置同样，则称5和–7互为模12情况下的补数。计算机中机器数受机器字长限制，所以是有限字长的数字系统。对于整数来说，机器字长为n位（含符号位），模是2ⁿ；对于有符号纯小数来说，模是2。

求补运算通常利用反码来实现。

【例】 求X = +1011，Y = –1101的原码、反码和补码。

解    [X ]_原 = 01011                [Y ]_原 = 11101

       [X ]_反 = 01011                [Y ]_反 = 10010

       [X ]_补 = 01011                [Y ]_补 = 10011

採用补码进行加减运算十分方便。通过对负数的编码处理，同意符号位和数值一起參与运算，能够把减法运算转化为加法运算。不论求和求差，也不论操作数为正为负，运算时一律仅仅做加法，从而大大简化运算器的设计，加快了运算速度。

比如，(–9)+(–5)的运算例如以下：

[–9]_补 = 11110111                  11110111

[–5]_补 = 11111011           +     11111011

                                      111110010

由于机器字长的限制，丢失高位1，运算结果机器数为11110010，是–14的补码形式。

眼下，因为计算机中最多的运算是加减运算，为了简化运算器设计，加快运算速度，有些计算机在数值表示、存储、运算时均採用补码表示法，也有些计算机，数用原码进行存储和传送，运算时採用补码，还有些计算机在进行加减法时採用补码运算，而在进行乘除法时採用原码运算。

4．精度和溢出

现代数字计算机是有限字长的数字系统，机器数表示的范围受到机器字长和数据类型的限制，一旦机器字长和数据类型确定了，机器数所能表示的数的范围和精度也就确定了。所谓精度，是指能够给出的有效数字的位数。一般来说，机器字长越长，能够表示的数的范围越大，精度越高；当字长同样时，浮点数通常比整数能够表示的数的范围要大；浮点数表示时，阶码位数越多，能够表示的数的范围越大，尾数位数越多，能够表示的数的精度越高。

假设一个数的大小超出了计算机所能表示的数的范围，则产生“溢出”。假设两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大正数，称为“上溢”；假设两个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数，称为“下溢”。比如，字长为n位的有符号整数，最高1位为符号位，数值位为n–1位，用补码表示时，数的表示范围为–2^n–1~2^n–1–1，一旦运算时发生结果超出此范围的情况，就产生溢出。