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动态规划
常常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题,而会分解出一系列的子问题。简单地採用把大问题分解成子问题。并综合子问题的解导出大问题的解的方法,问题求解耗时会按问题规模呈幂级数添加。
为了节约反复求同样子问题的时间,引入一个数组。无论它们是否对终于解实用。把全部子问题的解存于该数组中,这就是动态规划法所採用的基本方法。
【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列
问题描写叙述:字符序列的子序列是指从给定字符序列中任意地(不一定连续)去掉若干个字符(可能一个也不去掉)后所形成的字符序列。
令给定的字符序列X=“x0,x1,…。xm-1”,序列Y=“y0,y1。…。yk-1”是X的子序列。存在X的一个严格递增下标序列<i0,i1,…。ik-1>,使得对全部的j=0,1,…,k-1,有xij=yj。
比如,X=“ABCBDAB”,Y=“BCDB”是X的一个子序列。
考虑最长公共子序列问题怎样分解成子问题,设A=“a0。a1。…,am-1”,B=“b0,b1,…。bm-1”,并Z=“z0。z1,…,zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有下面性质:
(1) 假设am-1=bn-1,则zk-1=am-1=bn-1,且“z0。z1,…。zk-2”是“a0,a1。…,am-2”和“b0,b1。…,bn-2”的一个最长公共子序列;
(2) 假设am-1!=bn-1,则若zk-1!=am-1,蕴涵“z0。z1,…。zk-1”是“a0。a1,…。am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列;
(3) 假设am-1!=bn-1,则若zk-1!=bn-1,蕴涵“z0,z1。…,zk-1”是“a0。a1,…,am-1”和“b0。b1。…,bn-2”的一个最长公共子序列。
这样,在找A和B的公共子序列时,如有am-1=bn-1。则进一步解决一个子问题,找“a0,a1。…,am-2”和“b0。b1,…,bm-2”的一个最长公共子序列。假设am-1!=bn-1,则要解决两个子问题,找出“a0。a1。…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1。…。bn-2”的一个最长公共子序列,再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
求解:
引进一个二维数组c[][],用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度。b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的,以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算,那么在计算c[i,j]之前,c[i-1][j-1],c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。
此时我们依据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]。就能够计算出c[i][j]。
问题的递归式写成:
回溯输出最长公共子序列过程:
算法分析:
因为每次调用至少向上或向左(或向上向左同一时候)移动一步,故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况,此时開始返回。
返回时与递归调用时方向相反,步数同样,故算法时间复杂度为Θ(m + n)。
代码:
#include <stdio.h> #include <string.h> #define MAXLEN 100 void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN]) { int i, j; for(i = 0; i <= m; i++) c[i][0] = 0; for(j = 1; j <= n; j++) c[0][j] = 0; for(i = 1; i<= m; i++) { for(j = 1; j <= n; j++) { if(x[i-1] == y[j-1]) { c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1; b[i][j] = 0; } else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]) { c[i][j] = c[i-1][j]; b[i][j] = 1; } else { c[i][j] = c[i][j-1]; b[i][j] = -1; } } } } void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j) { if(i == 0 || j == 0) return; if(b[i][j] == 0) { PrintLCS(b, x, i-1, j-1); printf("%c ", x[i-1]); } else if(b[i][j] == 1) PrintLCS(b, x, i-1, j); else PrintLCS(b, x, i, j-1); } int main(int argc, char **argv) { char x[MAXLEN] = ...{"ABCBDAB"}; char y[MAXLEN] = ...{"BDCABA"}; int b[MAXLEN][MAXLEN]; int c[MAXLEN][MAXLEN]; int m, n; m = strlen(x); n = strlen(y); LCSLength(x, y, m, n, c, b); PrintLCS(b, x, m, n); return 0; }
认为思路很清晰,所以转载。
感谢作者:http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630
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