2014ACM/ICPC亚洲区西安站 F题 color (组合数学，容斥原理)

全栈程序员-用户IM • 2022年1月20日下午4:00 • 未分类

大家好，又见面了，我是全栈君。

题目链接：传送门

题意：

n个格子排成一行。我们有m种颜色。能够给这些格子涂色，保证相邻的格子的颜色不同

问，最后恰好使用了k种颜色的方案数。

分析：

看完题目描写叙述之后立刻想到了一个公式：C(m,k)*k*(k-1)^(n-1),可是细致分析了一下

这个公式的含义是相邻的格子颜色不同，使用的颜色总数小于等于k的方案数,可是这个

公式能够帮忙我们衍生出来以下的公式。C(k,x)*x*(x-1)^(n-1),这个公式的含义是在这

k种颜色中再选出来x种使得相邻的格子不同色最后的颜色数小于等于x,然后每个集合

都有交们我们能够考虑用容斥来搞一下。

设 S = F[x]=C(k,x)*x*(x-1)^(n-1);

ans = C(m,k) * sigma{ (-1)^(k-i) * C(k,i) * i *(i – 1)^(n-1)} (1 <= i <= k)

代码例如以下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long LL;

const LL mod = 1e9+7;

const int maxn = 1e6+10;

LL n,m,k;

LL c[maxn],inv[maxn];

LL quick_mod(LL a,LL b){
    LL ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return ans ;
}

inline LL get_inverse(LL x){ //(a/b) % c = a*inv[b] %c if(c is a prime number) inv[b] = (b^(c-2))%c;
    return quick_mod(x,mod-2);
}

void init(){//将[1,1e6+10]的逆元预处理出来
    for(LL i=1;i<maxn;i++)
        inv[i]=get_inverse(i);
}

void get_combine(LL n){//得到组合数
    c[0]=1;
    for(LL i=1;i<=k;i++){
        c[i]=(c[i-1]*(n-i+1)%mod)*inv[i]%mod;
    }
}

inline LL calc(LL x){// x*C(k,x)*(x-1)^(n-1)
    return (c[x]*x%mod)*quick_mod(x-1,n-1)%mod;
}

int main(){
    init();
    int t,cas=1;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
        get_combine(m);
        LL ans = c[k],ans1=0,tag=1;
        get_combine(k);
        for(LL i=k;i>=1;i--){
            ans1=(ans1+tag*calc(i)+mod)%mod;
            tag=-tag;
        }
        ans=ans*ans1%mod;
        printf("Case #%d: %lld\n", cas++, ans);
    }
    return 0;
}

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