【矩阵乘】【NOI 2012】【cogs963】随机数生成器

全栈程序员-用户IM • 2022年1月22日上午8:00 • 未分类

大家好，又见面了，我是全栈君。

963. [NOI2012] 随机数生成器

★★   输入文件：randoma.in   输出文件：randoma.out   简单对照
时间限制：1 s   内存限制：128 MB

**【问题描写叙述】

栋栋近期迷上了随机算法，而随机数是生成随机算法的基础。栋栋准备使用线性同余法（Linear Congruential Method）来生成一个随机数列。这样的方法须要设置四个非负整数參数m,a,c,X[0],依照以下的公式生成出一系列随机数{Xn}：

X[n+1]=(aX[n]+c) mod m

当中mod m表示前面的数除以m的余数。从这个式子能够看出，这个序列的下一个数总是由上一个数生成的。

用这样的方法生成的序列具有随机序列的性质。因此这样的方法被广泛地使用，包括经常使用的C++和Pascal的产生随机数的库函数使用的也是这样的方法。

栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性，只是心急的他仍然想尽快知道X[n]是多少。

由于栋栋须要的随机数是0,1,…,g-1之间的，他须要将X[n]除以g取余得到他想要的数，即X[n] mod g，你仅仅须要告诉栋栋他想要的数X[n] mod g是多少就能够了。

【输入格式】

输入文件randoma.in中包括6个用空格切割的整数m,a,c,X[0],n和g，当中a,c,X[0]是非负整数。m,n,g是正整数。

【输出格式】

输出到文件randoma.out中，输出一个数，即X[n] mod g

【例子输入】

11 8 7 1 5 3

【例子输出】

【例子说明】

计算得X[n]=X[5]=8,故(X[n] mod g) = (8 mod 3) = 2

【数据规模】

40%的数据中m为质数
30%的数据中m与a-1互质

50%的数据中n<=10^6
100%的数据中n<=10^18

40%的数据m,a,c,X[0]<=10^4
85%的数据m,a,c,X[0]<=10^9
100%的数据中m,a,c,X[0]<=10^18

100%的数据中g<=10^8

对于全部数据,n>=1,m>=1,a>=0,c>=0,X[0]>=0,g>=1。

题解：

比較简单的矩阵乘，对于两个矩阵：

A [a, c 0, 1]

B [X [n - 1] 1]

显然，X[n]能够由这两个矩阵相乘得到：

A * B = C [X [n] 1]

于是对于X[n]，我们能够这样求：

A n * [X [0] 1]

比較坑人的是须要写高速乘，由于普通乘会炸。。。

（PS:高速乘差点儿和高速幂写起来一样，仅仅须要把 * 改成 +）

Code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long A[2][2]={{0,0},{0,1}},B[2][2]={{0,0},{1,0}},C[2][2]={0};
long long n,g,m,nn;
long long kc(long long x,long long y){
    long long z=0;
    x%=m; y%=m;
    if (x<y) swap(x,y);
    while (y){
        if (y&1) z=(z+x)%m;
        x=(2*x)%m;
        y>>=1;
    }
    return z;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&m,&A[0][0],&A[0][1],&B[0][0],&n,&g);
    nn=n;
    while (nn){
        if (nn&1){
            memset(C,0,sizeof(C));
            for (int i=0; i<2; i++)
                for (int j=0; j<2; j++)
                    for (int k=0; k<2; k++)
                        C[i][j]=(C[i][j]+kc(A[i][k],B[k][j]))%m;
            for (int i=0; i<2; i++)
                for (int j=0; j<2; j++)
                    B[i][j]=C[i][j];
        }
        nn>>=1;
        memset(C,0,sizeof(C));
        for (int i=0; i<2; i++)
            for (int j=0; j<2; j++)
                for (int k=0; k<2; k++)
                    C[i][j]=(C[i][j]+kc(A[i][k],A[k][j]))%m;
        for (int i=0; i<2; i++)
            for (int j=0; j<2; j++)
                A[i][j]=C[i][j];
    }
    printf("%lld\n",B[0][0]%g);
    return 0;
}