扩展欧几里得

扩展欧几里得

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欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。

基本算法:设a=qb+r。当中a,b。q,r都是整数。则gcd(a,b)=gcd(b,r)。即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

递归代码

__int64 gcd(__int64 a,__int64 b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得

基本算法对于不全然为 0 的非负整数 a,b。gcd(a。b)表示 a,b 的最大公约数,

          必定存在整数对 x。y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。

证明设 a>b。

1。显然当 b=0。gcd(a,b)=a。此时 x=1。y=0;

2,ab!=0 时。设 ax1+by1=gcd(a,b);

  bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

  依据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

  则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

  即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

  依据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

   这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1。y1 的值基于 x2,y2.

  上面的思想是以递归定义的,由于 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归能够结束。

递归代码:

__int64 exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x1,__int64 &y1)
{
    __int64 t,d;
    if(b==0){
        x1=1;
        y1=0;
        return a;
    }
    d=exgcd(b,a%b,x1,y1);
    t=x1;
    x1=y1;
    y1=t-a/b*y1;
    return d;
}

扩展欧几里德算法的应用主要有下面三方面:

(1)求解不定方程。

(2)求解模线性方程(线性同余方程)。

(3)求解模的逆元;

补充定理:

1.设a,b,c为随意整数。若方程ax+by=c的一组整数解为(x0。y0),
则它的随意整数解都能够写成(x0+kb’,y0-ka’),当中a’=a/gcd(a。b),b’=b/gcd(a,b),k为随意整数
2.定理:若ax+by=g。(g=gcd(a,b),即g是a,b的最大公约数)有整数解(x1,y1);则ax+by=c(c是g的倍数)有整数解(cx1/g,cy1/g)

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