三种最短路的总结

全栈程序员-用户IM • 2021年9月28日上午10:00 • 未分类

三种最短路算法的对比
	floyd	dijkstra	Bellman-ford
空间复杂度	o(N^2)	0(M)	0(M)
时间吗复杂度	O(N3)	O((M+N)logN)	O(MN)
适用情况	稠密图	稠密图	稀疏图
负权边	不可以	不可以	可以

floyd算法简单，dijkstra不能解决负权边优化后可以得到MLogN的复杂度，bellman可以解决负权边。

下面再介绍一下贝尔曼、福特算法的优化

给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。

算法思想：我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止

期望的时间复杂度O(k e)，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。

实现方法：

　建立一个队列，初始时队列里只有起始点，再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。

判断有无负环：
　　如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）

暂时先给出代码，具体我也没理解清楚；

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<queue>
#define N 210
#define M 2010
#define INF 0x3f3f3f3f//定义无穷大 
using namespace std;
int dis[N],vis[N],head[N],n,m,edgenum;
struct node{
	int from,to,cost,next;
}edge[M];
void init(){
	edgenum=0;
	memset(head,-1,sizeof(head));
}
void add(int u,int v,int w){
	node E={u,v,w,head[u]};
	edge[edgenum]=E;
	head[u]=edgenum++;
}
void spfa(int beg,int end){//SPFA算法核心 
	queue<int>q;
	q.push(beg);//将起点加入队列 
	memset(vis,0,sizeof(vis));//用来标记是否在队列中 
	memset(dis,INF,sizeof(dis));
	vis[beg]=1;
	dis[beg]=0;
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();
		q.pop();
		vis[u]=0;
		int i;
		for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){//遍历起点为U的所有的边。 
			int v=edge[i].to;
			if(dis[v]>dis[u]+edge[i].cost){//更新点的最短路 
				dis[v]=dis[u]+edge[i].cost;
				if(!vis[v]){
					vis[v]=1;
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
	if(dis[end]==INF)
		printf("-1\n");
	else
		printf("%d\n",dis[end]);
}
int main(){
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&n!=0&&m!=0){
		init();//需要初始化邻接表的表头。 
		while(m--){
			int a,b,cost;
			scanf("%d%d%d",&a,&b,&cost);
			add(a,b,cost);//对图进行输入，由于是无向图，所以正反两次输入，不用判断重边。 
			add(b,a,cost);
		}
		int beg,end;
		scanf("%d%d",&beg,&end);
		spfa(beg,end);
	}
	return 0;
}

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