C#计算矩阵的秩

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1.代码思路

计算矩阵的秩，即把矩阵进行行初等变换，得出的行最简矩阵的非零行数。过程如下

1）将矩阵各行按第一个非零元素出现的位置升序排列（Operation1函数）

2）查看矩阵是否为行最简矩阵（isFinished函数），是则到第6步，不是则到第3步

3）如果有两行第一个非零元素出现的位置相同，则做消法变换，让下面行的第一个非零元素位置后移（Operation2函数）

4）将矩阵各行按第一个非零元素出现的位置升序排列（Operation1函数）

5）返回第2步

6）判断误差，对趋近与0的元素（如1E-5）按0处理，以免在第7步误判（Operation3函数）

7）统计非零行的数目（Operation4函数），即为矩阵的秩

2.函数代码

（注：本段代码只实现了一个思路，可能并不是该问题的最优解）

/// <summary>
/// 计算矩阵的秩
/// </summary>
/// <param name="matrix">矩阵</param>
/// <returns></returns>
private static int Rank(double[][] matrix)
{
    //matrix为空则直接默认已经是最简形式
    if (matrix == null || matrix.Length == 0) return 0;

    //复制一个matrix到copy，之后因计算需要改动矩阵时并不改动matrix本身
    double[][] copy = new double[matrix.Length][];
    for (int i = 0; i < copy.Length; i++)
    {
        copy[i] = new double[matrix[i].Length];
    }
    for (int i = 0; i < matrix.Length; i++)
    {
        for (int j = 0; j < matrix[0].Length; j++)
        {
            copy[i][j] = matrix[i][j];
        }
    }

    //先以最左侧非零项的位置进行行排序
    Operation1(copy);

    //循环化简矩阵
    while (!isFinished(copy))
    {
        Operation2(copy);
        Operation1(copy);
    }

    //过于趋近0的项，视作0，减小误差
    Operation3(copy);

    //行最简矩阵的秩即为所求
    return Operation4(matrix);
}

/// <summary>
/// 判断矩阵是否变换到最简形式（非零行数达到最少）
/// </summary>
/// <param name="matrix"></param>
/// <returns>true:</returns>
private static bool isFinished(double[][] matrix)
{
    //统计每行第一个非零元素的出现位置
    int[] counter = new int[matrix.Length];
    for (int i = 0; i < matrix.Length; i++)
    {
        for (int j = 0; j < matrix[i].Length; j++)
        {
            if (matrix[i][j] == 0)
            {
                counter[i]++;
            }
            else break;
        }
    }

    //后面行的非零元素出现位置必须在前面行的后面，全零行除外
    for (int i = 1; i < counter.Length; i++)
    {
        if (counter[i] <= counter[i - 1] && counter[i] != matrix[0].Length)
        {
            return false;
        }
    }

    return true;
}

/// <summary>
/// 排序（按左侧最前非零位位置自上而下升序排列）
/// </summary>
/// <param name="matrix">矩阵</param>
private static void Operation1(double[][] matrix)
{
    //统计每行第一个非零元素的出现位置
    int[] counter = new int[matrix.Length];
    for (int i = 0; i < matrix.Length; i++)
    {
        for (int j = 0; j < matrix[i].Length; j++)
        {
            if (matrix[i][j] == 0)
            {
                counter[i]++;
            }
            else break; 
        }
    }

    //按每行非零元素的出现位置升序排列
    for (int i = 0; i < counter.Length; i++)
    {
        for (int j = i; j < counter.Length; j++)
        {
            if(counter[i]>counter[j])
            {
                double[] dTemp = matrix[i];
                matrix[i] = matrix[j];
                matrix[j] = dTemp;
            }
        }
    }
}

/// <summary>
/// 行初等变换（左侧最前非零位位置最靠前的行，只保留一个）
/// </summary>
/// <param name="matrix">矩阵</param>
private static void Operation2(double[][] matrix)
{
    //统计每行第一个非零元素的出现位置
    int[] counter = new int[matrix.Length];
    for (int i = 0; i < matrix.Length; i++)
    {
        for (int j = 0; j < matrix[i].Length; j++)
        {
            if (matrix[i][j] == 0)
            {
                counter[i]++;
            }
            else break;
        }
    }

    for (int i = 1; i < counter.Length; i++)
    {
        if (counter[i] == counter[i - 1] && counter[i] != matrix[0].Length)
        {
            double a = matrix[i - 1][counter[i - 1]];
            double b = matrix[i][counter[i]]; //counter[i]==counter[i-1]

            matrix[i][counter[i]] = 0;
            for (int j = counter[i] + 1; j < matrix[i].Length; j++)
            {
                double c = matrix[i - 1][j];
                matrix[i][j] -= (c * b / a);
            }

            break;
        }
    }
}

/// <summary>
/// 将和0非常接近的数字视为0
/// </summary>
/// <param name="matrix"></param>
private static void Operation3(double[][] matrix)
{
    for (int i = 0; i < matrix.Length; i++)
    {
        for (int j = 0; j < matrix[0].Length; j++)
        {
            if (Math.Abs(matrix[i][j]) <= 0.00001)
            {
                matrix[i][j] = 0;
            }
        }
    }
}

/// <summary>
/// 计算行最简矩阵的秩
/// </summary>
/// <param name="matrix"></param>
/// <returns></returns>
private static int Operation4(double[][] matrix)
{
    int rank = -1;
    bool isAllZero = true;
    for (int i = 0; i < matrix.Length; i++)
    {
        isAllZero = true;

        //查看当前行有没有0
        for (int j = 0; j < matrix[0].Length; j++)
        {
            if (matrix[i][j] != 0)
            {
                isAllZero = false;
                break;
            }
        }

        //若第i行全为0，则矩阵的秩为i
        if (isAllZero)
        {
            rank = i;
            break;
        }
    }
    //满秩矩阵的情况
    if (rank == -1)
    {
        rank = matrix.Length;
    }

    return rank;
}

3.Main函数调用

static void Main(string[] args)
{
    //示例矩阵1：秩为3
    double[][] matrix1 = new double[][] 
    {
        new double[] { 1, 1, 1 },
        new double[] { 1, 1, 0 },
        new double[] { 0, 1, 1 } 
    };

    Console.WriteLine(Rank(matrix1));

    //示例矩阵2：秩为3
    double[][] matrix2 = new double[][] 
    {
        new double[] { 3, 2, 0, 5, 0 }, 
        new double[] { 3, -2, 3, 6, -1 },
        new double[] { 2, 0, 1, 5, -3 },
        new double[] { 1, 6, -4, -1, 4 } 
    };

    Console.WriteLine(Rank(matrix2));

    //示例矩阵3：秩为3
    double[][] matrix3 = new double[][] 
    {
        new double[] { 2, 3, 1, -3, -7 }, 
        new double[] { 1, 2, 0, -2, -4 },
        new double[] { 3, -2, 8, 3, 0 },
        new double[] { 2, -3, 7, 4, 3 }
    };

    Console.WriteLine(Rank(matrix3));

    Console.ReadLine();
}

4.执行结果