[bzoj3884] 上帝与集合的正确用法

题意：要你算这个玩意额：\(2^{2^{2^{…}}}\)

题解：

欧拉定理+递归

设\(p=2^k*q （q为奇数）\)

题目要求\(2^{2^{2^{…}}}modp\)

变形为\(2^k（2^{2^{2^{…}}-k}modq）\) （这里需要在草稿纸上算一下）

由于q是个奇数，那么肯定与2的指数互质

原式变为\(2^k(2^{(2^{2^{…}}-k)mod\phi(q)}modq)\)

然后就可以递归求解了，当模数为1的时候，递归就结束了，然后就可以回溯计算了

递归次数不超过\(log_2p\) ,单次求\(\phi(p)\)的复杂度为\(\sqrt{p}\)

所以总复杂度为\(T*log_2p*\sqrt{p}\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;

int gi() {
  int x=0,o=1; char ch=getchar();
  while(ch!='-' && (ch<'0' || ch>'9')) ch=getchar();
  if(ch=='-') o=-1,ch=getchar();
  while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
  return o*x;
}

int get_phi(int x) {
  int ret=x;
  for(int i=2; i*i<=x; i++) {
    if(x%i==0) {
      ret=ret/i*(i-1);
      while(x%i==0) x/=i;
    }
  }
  if(x>1) ret=ret/x*(x-1);
  return ret;
}

int qpow(ll x, int y, int mo) {
  ll ret=1;
  while(y) {
    if(y&1) ret=ret*x%mo;
    x=x*x%mo,y>>=1;
  }
  return ret;
}

int solve(int p) {
  if(p==1) return 0;
  int k=0,phi,ret;
  while(!(p&1)) p>>=1,k++;//while(p是个偶数)
  phi=get_phi(p);
  ret=solve(phi);
  (ret+=phi-k%phi)%=phi;
  ret=qpow(2,ret,p)%p;
  return ret<<k;
}

int main() {
  int T=gi();
  while(T--) {
    int p=gi();
    printf("%d\n", solve(p));
  }
  return 0;
}