「原码 反码 补码 移码」一探究竟（中）

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上文「原码 反码 补码 移码」一探究竟（一）说了基本定义和原码，对于补码，我们只知道是对原码符号位不变，其他位置取反，最后再加 1 得来的，为何如此呢？接下来咱们来揭下「补码」的面具，看看它到底是什么。

0. 关于 1 + (-1)

首先，先看一个问题。

1 的原码为[0000 0001]，-1 的原码为[1000 0001]，所以计算这两个数相加，应该是这样的：

1 + (-1) 

= [0000 0001]原 + [1000 0001]原 

= [1000 0010]原 

= -2
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结果竟然是 -2，很明显是错的，这样用原码计算就出问题了。当然，劳动人民的智慧不可估量，总能发现合适的方式来解决各种问题，于是，补码就诞生了，再看用补码计算的过程。

1 + (-1) 

= [0000 0001]原 + [1000 0001]原 

= [0000 00001]补 + [1111 1111]补 

= [0000 0000]补 

= [0000 0000]原 

= 0
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结果正确，问题得以解决，而这也是计算机都是以补码的形式来存储整数的原因。

但是，为什么用补码计算就能得到正确结果呢？为什么补码的计算方式是原码取反再加 1 呢？带着问题，我们继续往下看。

1. 钟表上的哲学

钟表，每个人应该都清楚的，上面的数字范围[0,11]，也可以理解为[1, 12]，毕竟上面没有写 0 这个数字，但是不变的是，都可以表示12个小时。

比方说，现在是 9:00，时针指向9。我要想知道 7 个小时之前是几点，那么我只需要将时针向回拨动 7 个格子即可，结果很显然，时针将会指向 2，表示 2:00；但是，我要想知道 5 个小时后是几点呢？也很简单，将时针向前拨动 5 个格子，结果也很显然，时针也会指向 2，表示 2:00。

通过不同方式，我们得到了同样的结果，也就是说在钟表上，9 – 7 = 9 + 5 = 2。不仅 7 和 5 有这样的规律，8 和 4、9 和 3等都有这样的规律，也就是说，相加等于 12 的两个数都符合这样的规律，即 X – Y = X + (12 -Y)，而 12 在这里有个名字，叫做这个钟表的模，12 – Y 叫做 Y 的补数。

减去一个数，等于加上这个数的补数，应用这个规律就可以将减法转换为加法了。

那么问题来了，模长该怎么求？

2. 通俗的「模」

通俗的讲，很简单。还是拿钟表举例，上面能表示的数字的总数就是其模长，所以不管是[0, 11]，还是[1, 12]，都为12。

再来看 8 位二进制，其原码能表示的范围 (注意看，这里说的是原码)，[1111 1111] ~ [0111 1111]，即 [-2^7 – 1, 2^7 – 1] = [-127, 127]，因为我们是要将其全部转变为非负数，即能表示的范围为[0, 127]，所以模长为 128。

说完了这些，我们再来重新看下 -3 的补码的计算过程。-3 原码为 [1000 0011]，而取反的过程实际上等同于用[0111 1111]减去 -3 原码中的符号位之外的部分，之后再加 1 即得到补码，所以：

-3 补码(未添加符号位)

= [1000 0011]原 取反 + [0000 0001]

= [0111 1111] - [0000 0011] + [0000 0001]
 
= [0111 1111] + [0000 0001] - [0000 0011]
 
= [1000 0000] - [0000 0011]

= 128 - [0000 0011]

= 模  - [0000 0011] 

= 模  - 3
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看到这，是不是一下就明白了？补码实际上就是模减去原码的值，再加上一个符号位，也就是所说的：符号位不变，取反再加1。

所以，在计算机中，整数都是以补码的形式存储的，是为了统一加减法运算。因为计算机之中是没有做减法的逻辑门，减法都会被转化为加法来完成计算。

而通过溢出，符号位也可以直接参与计算，大大简化了计算过程，看个例子就明白了。

7 + （-3）

= [0000 0111]原 + [1000 0011]原 

= [0000 0111]补 + [1111 1101]补 

= [0000 0100]补 (溢出部分不用处理)

= [0000 0100]原 

= 4 

2 + （-3）

= [0000 0010]原 + [1000 0011]原 

= [0000 0010]补 + [1111 1101]补 

= [1111 1111]补 

= [1000 0001]原 

= -1
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再看个特例。

-1 + (-127) 

= [1000 0001]原 + [1111 1111]原 

= [1111 1111]补 + [1000 0001]补 

= [1000 0000]补 

= -128
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用原码能表示的最小负数为 -127，补码却能表示的最小负数为 -128，但是 -128 没有原码和反码表示，由于计算机中使用补码表示整数，所以这没有影响，因此 8 位二进制数，也就是 byte 类型能表示的范围是 [-128, 127]。

说到这，对于补码，应该足够清晰了吧！

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